Projektivität

19.01.2013, 17:05	rose-de-jaspe	Auf diesen Beitrag antworten »
Projektivität Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} \sigma : \mathbb{C}P^n -> \mathbb{C}P^n \end{eqnarray}$ eine Projektivität mit $\begin{eqnarray} \sigma \circ \sigma = id_{\mathbb{C}P^n} \end{eqnarray}$ und bezeichne die Menge $\begin{eqnarray} Fix(\sigma):=\{p \in \mathbb{C}P^n : \sigma(p)=p\} \end{eqnarray}$ Zeige, $\begin{eqnarray} Fix (\sigma)= P \cup Q \end{eqnarray}$ , wobei P und Q zwei projektive Teilräume in $\begin{eqnarray} \mathbb{C}P^n \end{eqnarray}$ bezeichnen, für die $\begin{eqnarray} P \cap Q = \{ \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dim(P)+dim(Q)= dim(\mathbb{C}P^n) -1 \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: hallo Ich habe nur Teilstück-ideen: $\begin{eqnarray} \sigma = P_{\phi} : P(\mathbb{C}^{n+1})-> P(\mathbb{C}^{n+1}) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \phi: \mathbb{C}^{n+1}-> \mathbb{C}^{n+1} \end{eqnarray}$ lin Isomorphismus $\begin{eqnarray} P_{\phi} ([v])= [\phi(v)] \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} P_\phi \circ P_\phi = P([\phi(v)])=[\phi(\phi(v))]=id_{[v]} =[v] \end{eqnarray}$ Daraus folgt -> $\begin{eqnarray} \phi \circ \phi = id_v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v \in Fix(P_\phi) <=>P_\phi ([v])=[v] -> \exists \lambda \in K \end{eqnarray}$ ohne 0 $\begin{eqnarray} : \phi(v) =\lambda v \end{eqnarray}$ -> Eigenvektor# P von der Form $\begin{eqnarray} P=P(W), W \end{eqnarray}$ lin Teilraum im $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^{n+1} \end{eqnarray}$ Q von der Form $\begin{eqnarray} P=P(U), U \end{eqnarray}$ lin Teilraum im $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dim(P)+dim(Q)= dim(\mathbb{C}P^n) -1 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} dim(W)+dim(U)= n+1 \end{eqnarray}$ DImensionsformel: $\begin{eqnarray} dim(P) + dim(Q) = dim(P \cap Q) + dim(<P \cup Q>proj) \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} dim(W)-1 + dim(U)-1 = -1 + dim(W+U)-1 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} dim(W)+ dim(U) =dim(W+U) \end{eqnarray}$ mit obigen folgt => $\begin{eqnarray} dim(W+U)=n+1 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} dim(<P \cup Q>proj)= n \end{eqnarray}$

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