Lineare Abbildungen -> Lineare Unabhängigkeit.

19.01.2013, 17:46

Escapado

Lineare Abbildungen -> Lineare Unabhängigkeit.

Hallo zusammen. Ich hänge gerade an einer Übungsaufgabe fest und komme nicht voran.
Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \textrm{Gegeben seien zwei Vektorräume } V \textrm{ und } W \textrm{über einen Körper }\mathbb{K}\textrm{, eine lineare Abbildung } \phi : V \rightarrow W \\ \textrm{ und zwei Vektoren } v_{1},v_{2} \in V. \textrm{ Zeigen Sie: Ist: } v_{1}\neq v_{2} \textrm{ und } \phi(v_{1})=\phi(v_{2}) \neq 0\textrm{, so ist } (v_{1},v_{2})\textrm{linear unabhängig.} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen wäre dann ja, dass

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = 0 \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2 = 0, \lambda_{1,2} \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$

Aber ich weiß leider nicht so ganz, wie ich dass aus den Bedingungen herausziehen soll. Also wenn $\begin{eqnarray*} v_{1}\neq v_{2},\phi(v_{1})=\phi(v_{2}) \neq 0 \end{eqnarray*}$
gilt, dann heißt dass ja anschaulich, dass hier die linearen Abbildungen von 2 verschiedenen Element auf den gleichen Punkt zeigen, der aber gerade nicht null ist.
Außerdem finde ich das ganze auch etwas komisch, aber ich habe bestimmt einen Denkfehler im Folgenden: Aus der Linearität und der Gleichung folgt doch eigentlich
$\begin{eqnarray*} \phi(v_1+v_2) = \phi(v_1) + \phi(v_2) \textrm{ mit } \phi(v_1)=\phi(v_2) \Leftrightarrow \phi(v_1+v_2) = 2\phi(v_1)\textrm{ wegen Homogenität } \Leftrightarrow \phi(v_1+v_2) = \phi(2v_1) \end{eqnarray*}$
Folgt daraus nicht gerade, dass die beiden v gleich sind?

Und unabhängig davon, weiß jemand einen Denkanstoß, wie ich weiter vorgehen könnte um das zu beweisen? smile

In die Algebra verschoben
Mulder

19.01.2013, 18:19

Mulder

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RE: Lineare Abbildungen -> Lineare Unabhängigkeit.
Schön übersichtlich dargestellt. Freude

Zitat:

Original von Escapado

$\begin{eqnarray*} \phi(v_1+v_2) = \phi(v_1) + \phi(v_2) \textrm{ mit } \phi(v_1)=\phi(v_2) \Leftrightarrow \phi(v_1+v_2) = 2\phi(v_1)\textrm{ wegen Homogenität } \Leftrightarrow \phi(v_1+v_2) = \phi(2v_1) \end{eqnarray*}$

Folgt daraus nicht gerade, dass die beiden v gleich sind?

Nein, daraus folgt nur, dass $\begin{eqnarray*} v_1+v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2v_2 \end{eqnarray*}$ auf das gleiche Bildelement in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. Deswegen müssen sie aber ja nicht gleich sein. $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist ja nicht als injektiv gegeben, von daher kann durchaus $\begin{eqnarray*} v_1+v_2 \neq 2v_2 \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

Original von Escapado
Zu zeigen wäre dann ja, dass

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = 0 \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2 = 0, \lambda_{1,2} \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$

Genau. Tipp: Wenn

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = 0 \end{eqnarray*}$

dann ist auch

$\begin{eqnarray*} \phi(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) = \phi(0) \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} \phi(0) \end{eqnarray*}$ ? Und dann spiel auf der linken Seite der Gleichung mal ein bisschen mit der Linearität von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ rum. smile

19.01.2013, 18:28

Alaster

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RE: Lineare Abbildungen -> Lineare Unabhängigkeit.
Du hast ja

$\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Nun lass auf diese Gleichung doch mal $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ los. Dann bekommst du

$\begin{eqnarray*} \lambda_1\phi(v_1) + \lambda_2\phi(v_2) = \phi(\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2) = \phi(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Edit von Mulder: Lass ihn bitte die nächsten Schritte selber überlegen Augenzwinkern

Edit: Oh sorry, habe erst jetzt gesehen, dass schon wer geantwortet hat. :/

20.01.2013, 12:36

Escapado

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So, hab es heute mit euren Tipps nochmal versucht und ich glaube ich habe es jetzt. Ich schreibe mal meinen Ansatz auf, und bin mir recht sicher, dass die Argumentation jetzt richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \phi(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) = \phi(0) = \phi(0 0) = 0 \phi(0) = 0. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \textrm{Nun nutzen wir die Additivität und Homogenität aus: } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) = \phi(\lambda_1 v_1) + \phi(\lambda_2 v_2) = \lambda_1 \phi(v_1) + \lambda_2 \phi(v_2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \textrm{ Da nun aber } \phi(v_1)=\phi(v_2) \neq 0 \textrm{ kann die Gleichung nur erfüllt sein, wenn sowohl } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \textrm{, als auch } \lambda_2 \textrm{ gleich null sind(oder wenn die beiden Vektoren gleich wären, was aber in der Aufgabe ausgeschlossen wird),} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textrm{woraus die lineare Abhängigkeit von } v_1,v_2 \textrm{ folgt. q.e.d} \end{eqnarray*}$

P.S. wie kann ich denn hier die Linksbündigkeit von LaTeX einstellen?

20.01.2013, 12:52

Mulder

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Zwischendurch mal den Latex-Tag schließen, Zeilenumbruch und dann neu anfangen. Ist besser.

Zitat:

Original von Escapado
oder wenn die beiden Vektoren gleich wären, was aber in der Aufgabe ausgeschlossen wird

Diese Bemerkung verstehe ich nicht. Bitte präzisieren, was du meinst.

20.01.2013, 18:18

Escapado

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Okay, danke für den Tipp!

In der Aufgabenstellung steht ja explizit, dass $\begin{eqnarray*} v_1 \neq v_2 \end{eqnarray*}$ .

Wären sie nämlich gleich, dann wäre es nicht eindeutig, dass die Koeffzienten null sein müssen. Es ließe sich ja mit $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$ schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \phi(v_1) +\lambda_2 \phi(v_2) = 0 \Leftrightarrow\lambda_1 = \lambda_2 \end{eqnarray*}$

Wobei ja auch die Ungleichheit der Beiden Vektoren eine Bedingung für die lineare Unabhängigkeit ihrer selbst ist (was dann den ganzen Beweis ja sonst sowieso unmöglich machen würde), oder?

Vielen Dank nochmal für die Hilfe!

20.01.2013, 21:58

Mulder

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Zitat:

Original von Escapado
Wären sie nämlich gleich, dann wäre es nicht eindeutig, dass die Koeffzienten null sein müssen. Es ließe sich ja mit $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$ schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \phi(v_1) +\lambda_2 \phi(v_2) = 0 \Leftrightarrow\lambda_1 = \lambda_2 \end{eqnarray*}$

Wieso denn das? Setze ich $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2 \end{eqnarray*}$ , dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \phi(v_1) + \lambda_1 \phi(v_2) =0 \end{eqnarray*}$

und das ist wegen $\begin{eqnarray*} \phi(v_1)=\phi(v_2) \neq 0 \end{eqnarray*}$ sicherlich falsch, da würde auch $\begin{eqnarray*} v_1=v_2 \end{eqnarray*}$ nix dran ändern (aber das wäre ja auch witzlos, wie du selbst schon in deiner letzten Frage angedeutet hast).

Hast du dich irgendwo vertippt? Denn sonst scheinst du an dieser Stelle irgendwie noch zu hängen. verwirrt

Hier fehlt noch die richtige Argumentation.

21.01.2013, 00:00

Escapado

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Oh okay, dann formuliere ich mal um, denn ich glaube ich habe gar nichts falsches gesagt:

Es geht ja darum, dass ich zeigen möchte, dass aus:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \phi(v_1) + \lambda_2 \phi(v_2) = 0 \end{eqnarray*}$

herauskommen soll, dass

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = 0 \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2 = 0, \lambda_{1,2} \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$
gilt.

Und jetzt habe ich gesagt, wenn $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$ erlaubt wäre,
dann ließe sich schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \phi(v_1) + \lambda_2 \phi(v_2) = 0 \textrm{ ,mit } v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \lambda_1 \phi(v_1) + \lambda_2 \phi(v_1) = 0 \textrm{ ,teilen durch } \phi(v_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \lambda_1 +\lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \lambda_1 =-\lambda_2 \end{eqnarray*}$

Aber das wollten wir ja gar nicht zeigen. Wir wollten ja gerade zeigen, dass die beiden lambda gleich null sind, nicht nur, dass sie betragsmäßig identisch sind.

Also ist die Angabe, dass die beiden Vektoren ungleich sind(was sie sowieso sein müssen für die lineare Unabhängigkeit) auch an dieser Stelle noch einmal von Bedeutung. Das war alles was ich mit dem Text in der Klammer in meinem Post heute mittag ausdrücken wollte.

Edit: Ah ja, ich habe mich tatsächlich vertippt. Das was ich geschrieben habe oben war ja Quatsch! Habe da ein Minus gar nicht hingeschrieben, wo eins hingehört, was natürlich den Zusammenhang verdrehen würde. Also das die beiden v nicht gleich sind, ändert ja tatsächlich nicht viel weil die beiden Abbildungen ja gleich sind. Also brauche ich das gar nicht in meiner Argumentation und lasse es lieber weg.

21.01.2013, 00:17

Mulder

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Zitat:

Original von Escapado
Und jetzt habe ich gesagt, wenn $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$ erlaubt wäre,
dann ließe sich schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \phi(v_1) + \lambda_2 \phi(v_2) = 0 \textrm{ ,mit } v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \lambda_1 \phi(v_1) + \lambda_2 \phi(v_1) = 0 \textrm{ ,teilen durch } \phi(v_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \lambda_1 +\lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \lambda_1 =-\lambda_2 \end{eqnarray*}$

Das Minuszeichen hast du ja mittlerweile ergänzt. Aber trotzdem hast du jetzt noch kein Argument gebracht, warum $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Bis jetzt hast du nur:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = -\lambda_2 \end{eqnarray*}$

Ein formales Fiasko noch: Durch einen Vektor teilen? Wie soll das denn gehen? Eine Verknüpfung der Form "Vektordivision" ist in Vektorräumen gar nicht erklärt, damit kann man also auch nicht arbeiten. Das Distributivgesetz steht dir zur Verfügung, das darfst du hier verwenden. Bzw. das dazu analoge Vektorraumaxiom. Aber keine Division von Vektoren! Denk immer dran, dass die 0 auf der rechten Seite der Gleichung nicht die 0 aus dem Körper K ist, sondern der Nullvektor aus W!

Ich finde es übrigens (gerade im ersten Semester) gut, wenn man das auch formal sauber trennt, also $\begin{eqnarray*} 0_K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0_W \end{eqnarray*}$ schreibt, zum Beispiel. Aber das macht der eine so, oder andere so.

Also nochmal strukturiert: Wir haben

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \phi(v_1) + \lambda_2 \phi(v_2) = 0 \end{eqnarray*}$

Dies liefert allgemein die Lösung

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = - \lambda_1 \end{eqnarray*}$

Das beinhaltet natürlich auch den Fall $\begin{eqnarray*} \lambda_1= \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ . Wir müssen nun aber noch zeigen, dass das die einzig wirklich richtige Lösung ist. Dazu kehren wir wieder zur Ursprungsgleichung zurück:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2=0 \end{eqnarray*}$

Die muss ja nach wie vor auch gelten. Darum ging es ja ursprünglich. Unsere Erkenntnis aus der zweiten Gleichung, die wir erhalten haben, indem wir $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ benutzten, setzen wir hier wieder ein:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1v_1 - \lambda_1v_2=0 \end{eqnarray*}$

Und JETZT kannst du noch begründen, warum $\begin{eqnarray*} \lambda_1 =0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Und damit dann auch $\begin{eqnarray*} \lambda_2 =0 \end{eqnarray*}$ . Und dann bist du fertig.

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