Urbildfunktion - Verständnisfrage

19.01.2013, 18:15

ascer

Urbildfunktion - Verständnisfrage

Huhu Community,

ich hätte mal eine Verständnisfrage zu Urbildfunktionen // Abbildungen.

Wenn ich unter "2 - Beispiele" das Beispiel von Wikipedia *[1] richtig deute, dann liefert ein Bild, eingesetzt in die Urbildfunktion, welches von keinem Urbild
abgebildet wurde, die leere Menge?!

D.h. also als Beispiel mal für:

$\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow B \quad mit \;A = \{a,b,c\}, \; B = \{1,2,3\} \\ \\ \text{und den Zuordnungen: } \\ f(a) = 1 \\ f(b) = 1 \\ f(c) = 2 \end{eqnarray*}$

(wo also das Bild "3" von keinem Urbild in A abgebildet wird)

Würde dementsprechend folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} \\ f^{-1}(1) = \{a,b\} \\ f^{-1}(2) = \{c\} \\ f^{-1}(3) = \o \\ \\ \text{also:} \\ \\ f^{-1}(B) = \{ \{a,b\}, c, \o \} \\ \\ \text{und ferner:} \\ \\ f(f^{-1}(1)) = 1 \\ f(f^{-1}(2)) = 2 \\ f(f^{-1}(3)) = \o \\ \\ \text{also:} \\ f(f^{-1}(B)) = \{ 1, 2, \o \} \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt?

Oder hab ich den Text von Wikipedia falsch verstanden?

Grüße & schon mal vielen Dank im Voraus!

ascer

--- Links ---

*[1]: http://de.wikipedia.org/wiki/Urbild_(Mathematik)#Beispiele

19.01.2013, 19:21

Bakatan

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Nicht ganz, es ist
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(B)=\{x|f(x)\in B\} \end{eqnarray*}$
Sehr ungenau formuliert also "eine Menge von einzelnen Elementen". Folglich muss man nicht die Urbilder der einzelnen Elemente in einer Menge zusammenfassen (also nicht $\begin{eqnarray*} \{\{a,b\},\{c\},\o\} \end{eqnarray*}$ ). Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \{\{a,b\},c,\o\} \end{eqnarray*}$ ist nicht einmal eine erlaubte Menge in diesem Fall, denn der Typ von {a,b} und c ist unterschiedlich (Menge von einer Menge von Elementen des Typs T und ein einzelnes Element des Typs T ist nicht erlaubt)

Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \{a,b,c\}=\bigcup_{i\in B}f^{-1}(\{i\})=\bigcup_{i\in B}f^{-1}(i)~\text{- nicht zu verwechseln mit der Umkehrabbildung, schwammige Notation!} \end{eqnarray*}$

Später taucht etwas ähnliches auf:
$\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ liefert generell eine Menge zurück. D.h. ein Ausdruck (man erkennt langsam, weshalb die Notation etwas ungünstig ist) $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(X)) \end{eqnarray*}$ ist das Bild, da f selbst nicht auf einer Menge dieses Typs definiert ist. Das Bild liefert allerdings wieder Mengen, folglich muss:
$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(1))=\textcolor{red}{\{}1\textcolor{red}{\}} \end{eqnarray*}$
zweiter Fall analog, dritter stimmt wieder, da die leere Menge eine Menge ist und simpler Weise auch des korrekten Typs (da leer).

Letztendlich ist $\begin{eqnarray*} \{1,2,\o\} \end{eqnarray*}$ nur mit viel Augen zukneifen wieder überhaupt eine Menge (hier kann man im Gegensatz zu vorher tricksen, das lassen wir aber mal aussen vor, denn ob das jetzt eigentlich eine wohldefinierte Menge ist oder nicht ist nicht das Thema).
Es ist $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(B))=f(\{a,b,c\})=\{f(x)|x\in\{a,b,c\}\}=\{1,2\} \end{eqnarray*}$

edit: kleine Ungenauigkeit ausgebessert.

edit2: Zusatzanmerkung:
Es ist für $\begin{eqnarray*} f:A\rightarrow B \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B)=A \end{eqnarray*}$ denn jedem Element aus A muss (Definition von Funktion) immer ein Element aus B zugeordnet werden. Der umgekehrte Fall ( $\begin{eqnarray*} f(A)=B \end{eqnarray*}$ ) gilt i.a. nicht, dein Beispiel zeigt das schön, denn "3" wird nicht getroffen, $\begin{eqnarray*} 3\notin f(A) \end{eqnarray*}$ . Falls $\begin{eqnarray*} f(A)=B \end{eqnarray*}$ sagt man auch "f ist surjektiv".

edit3: Zusatzanmerkung 2:
$\begin{eqnarray*} \text{Seien }A,B\text{ Mengen, }f:A\rightarrow B\text{ eine Funktion und }X\subset A, Y\subset B\text{ Teilmengen, so gilt:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(X)\subset B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y)\subset A \end{eqnarray*}$
Welches unmittelbar aus der Definition folgt.

19.01.2013, 20:34

ascer

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Vielen vielen Dank für diese ausführliche Antwort! smile

Ich glaube, was Mengen/Abbildungen angeht, muss ich noch einiges lernen...höre aktuell allerdings auch nur Diskrete Mathematik, ist also kaum im Skript was dazu vorhanden.

Könntest du vielleicht eine gute Literaturempfehlung bezüglich Mengen/Abbildungen geben?

19.01.2013, 21:02

Bakatan

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Zitat:

Könntest du vielleicht eine gute Literaturempfehlung bezüglich Mengen/Abbildungen geben?

Leider nicht, ich habe bisher eher Bücher über Analysis, Logik oder lineare Algebra gelesen. Dort wird zwar soetwas wie Bild und Urbild von Funktionen natürlich definiert und erläutert, allerdings größtenteils etwas anderes als low-level Mengenlehre betrieben (wobei manche Dinge aus der theoretischen Mengenlehre extrem kompliziert sind, ein paar kurze Ausschnitte habe ich hier und dort gesehen).

Du kannst im Unterforum für Bücher & Software fragen, allerdings ist das immer etwas schwierig (da die Qualität eines Buches oft Meinungssache ist). Soweit ich es erkennen kann bekommt man dementsprechend auch nicht allzuviele Antworten, versuchen kann man es aber trotzdem, es kostet ja nichts Augenzwinkern

. Zudem geben Dozenten oft auch Buchempfehlungen - falls nicht, kann man sie sicher einfach direkt danach fragen. In dem Fall ist auch der unmittelbare Kontext des Stoffes klar und das Buch ist dann dementsprechend nah an der Vorlesung.

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