Kern, Bild und Invertierbarkeit von X

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lisa.Z Auf diesen Beitrag antworten »
Kern, Bild und Invertierbarkeit von X
Meine Frage:
Hallo ich habe folgendes Problem:

Gegeben sind:
A= , =.

Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie Kern(A) und Bild(A) und folgern Sie daraus die Invertierbarkeit von A.

Meine Ideen:
Ich habe nun Folgendes versucht:

Zuerst habe ich A nach Gauß umgeformt:

Daraus folgt ja, dass = 0, = 0 und = 0.
Nun habe ich mir gedacht, dass der Kern(A)= und das Bild(A) = , , ist.
Stimmt das so, denn irgendwie erscheint mir das zu simpel und einfach nicht richtig?
Und inwiefern kann man daraus die Invertierbarkeit von A folgern?

Vielen Dank an jeden der mir dabei weiterhelfen kann! smile
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern, Bild und Invertierbarkeit von X
Hallo Lisa,

erst mal Willkommen bei matheboard Wink


Deine Ideen sehen soweit gut aus, ich habe aber mit deiner Schreibweise ein wenig Probleme.

Wie bestimmt man denn den Kern einer linearen Abbildung, die dir als Matrix gegeben ist?

Noch etwas: und sind Mengen. So wie du das schreibst wären es jedoch einzelne Punkte.

Überlege dir also noch mal, wie diese Mengen aussehen müssen (der Kern ist fast korrekt, beim Bild solltest du dir noch mal Gedanken machen) und welche Schlüsse du daraus bezüglich der Eigenschaften der linearen Abbildung, welche die Matrix ja letztlich darstellen, ziehen kannst.


Viele Grüße,
Mandelbrötchen
lisa.Z Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mandelbrötchen,
ja ich weiß, dass die geschweiften Klammern noch um den Kern und das Bild kommen, ich wusste nur nicht wie ich die angeben sollte! Big Laugh

Ich dachte dass man den Kern bestimmt, indem man , und ausrechnet... oder habe ich da einen Denkfehler?

Könnte es sein, dass das Bild dann nicht die Einheitsvektoren sind sondern Bild(A) = (geschweifte Klammer), ,(geschweifte Klammer) ist?

Danke und liebe Grüße smile
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst zur Methode, wie man letztlich den Kern bestimmt sicher das richtige, schreibst es jedoch nicht.

Wie rechnest du denn die 8latex]x_i[/latex] letztlich aus?

Gut, dann die nächste Frage: Wie kommst du auf das du letztlich angegeben hast?
lisa.Z Auf diesen Beitrag antworten »

Die x rechne ich mittels dem gauß'schen Verfahren aus - meinst du damit, dass ich nicht das richtige schreibe, dass der Kern evtl, dadurch, dass alle x = 0 sind, die leere Menge ist?

Und auf das Bild komme ich, weil es ja heißt, dass was nach der gauß'schen Umformung nicht zur Nullzeile wird zum Bild gehört. Was ja in diesem Fall alle Zeilen sind... (Oder muss ich für das Bild vor der g. Umformung erst transponieren?)
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Berechnung des Kerns:

Ich wollte nur wissen, dass du die auch wirklich Null setzt. Letztlich löst man ja eine homogene lineare Gleichung wobei

Die Frage, ob der Kern die leere Menge sein kann, lässt sich schnell beantworten.
Wenn man eine beliebige Matrix betrachtet, dann gilt doch immer: wobei hier den Nullvektor meint.

Da der Kern aber alle Elemente des Bildraums beinhaltet, die durch die lineare Abbildung auf den Nullvektor geschickt werden, ist der Nullvektor des Bildraumes immer im Kern enthalten.


Zur Bestimmung des Bildes:

Wenn du die Matrix auf Zeilen-Stufen-Form bringt, kannst du (zumindest soweit ich es weiß) noch keine Aussage über die exakte Form des Bildes machen.
Was du aber kannst, ist die Dimension des Bildes anzugeben. Das funktioniert - wie du schon gesagt hast - über die Anzahl der Nullzeilen der Matrix.

Du musst aber auf keinen Fall vor der Gauß'schen Umformung transponieren.


Eine Frage am Rande:

Gilt folgende Gleichheit?

 
 
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mandelbrötchen
Da der Kern aber alle Elemente des Bildraums beinhaltet, die durch die lineare Abbildung auf den Nullvektor geschickt werden, ist der Nullvektor des Bildraumes immer im Kern enthalten.

Der Kern ist eine Teilmenge des Urbild-, nicht des Bildraums!
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von Mandelbrötchen
Da der Kern aber alle Elemente des Bildraums beinhaltet, die durch die lineare Abbildung auf den Nullvektor geschickt werden, ist der Nullvektor des Bildraumes immer im Kern enthalten.

Der Kern ist eine Teilmenge des Urbild-, nicht des Bildraums!



Da kam ich wohl selbst durcheinander. Logischerweise muss er Elemente des Urbildraumes enthalten.

Wollte mich vor einer formellen Definition drücken und dann kam Mist bei raus unglücklich


Hier dann also die Korrektur (korrigierte Stellen sind kursiv geschrieben):

Zitat:
Zur Berechnung des Kerns:
Ich wollte nur wissen, dass du die auch wirklich Null setzt. Letztlich löst man ja ein homogenes lineares Gleichungssystem wobei


Die Frage, ob der Kern die leere Menge sein kann, lässt sich schnell beantworten.
Wenn man eine beliebige Matrix betrachtet, dann gilt doch immer wobei hier den Nullvektor meint.


Da der Kern aber alle Elemente des Urbildraumes beinhaltet, die durch die lineare Abbildung auf den Nullvektor geschickt werden, ist der Nullvektor des Urbildraumes immer im Kern enthalten.
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