Bahnformel Beweis

19.01.2013, 22:13	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Bahnformel Beweis Meine Frage: Hallo, habe folgendes Problem und komme nicht mehr richtig weiter. Ich soll die sogenannten Bahnformel in der Gruppentheorie beweisen. Diese lautet bekanntermaßen $\begin{eqnarray} \|G\|=\|G_{x}\|\|Gx\| \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} G_{x} \end{eqnarray}$ der Stabilisator und $\begin{eqnarray} Gx \end{eqnarray}$ die Bahn unter der Operation von G auf einer Menge X mit $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ sein soll. $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ sei dabei eine endliche Gruppe. Meine Ideen:* Mein Problem ist, dass diese Bahnformel OHNE den Satz von Lagrange gezeigt werden soll, ich darf ihn NICHT voraussetzen und auch nicht beweisen um ihn dann zu benutzen! Ich habe nun bisher gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \|Gx\|=[G:G_{x}] \end{eqnarray}$ , dass also die Länge der $\begin{eqnarray} Bahn(x)= \end{eqnarray}$ der Anzahl Linksnebenklassen von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ bezüglich des Stabilisators $\begin{eqnarray} G_{x} \end{eqnarray}$ ist. Dazu habe ich natürlich zuerst gezeigt, dass $\begin{eqnarray} G_{x} \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist usw. Wie soll ich jetzt aber ohne Lagrange weitermache?? Ich könnte natürlich zeigen, dass sich $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ in Linksnebenklassen bezüglich $\begin{eqnarray} G_{x} \end{eqnarray}$ partitionieren lässt und alle Linksnebenklassen von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} G_{x} \end{eqnarray}$ gleichmächtig sind usw. und dann einfach aufsummieren. Aber das darf ich ja scheinbar nicht.. Hat jemand eine Idee wie ich da weitermachen könnte? Steh total auf dem Schlauch und sehe irgendwie keinen anderen Weg um ausgehend von $\begin{eqnarray} \|Gx\|=[G:G_{x}] \end{eqnarray}$ zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} [G:G_{x}]=\frac{\|G\|}{\|G_{x}\|} \end{eqnarray}$ gilt. Oder gibt es noch einen völlig anderen Ansatz als diesen? Bitte sehr um Hilfe. Lg, Xemle
20.01.2013, 12:06	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bahnformel Beweis Hallo Xemle, Schau Dir mal die Menge $\begin{eqnarray} \{(g,y)\|g\in G, y\in X, gx=y\} \end{eqnarray}$ an. Die Mächtigkeit dieser Menge ist einerseits gleich $\begin{eqnarray} \|G\| \end{eqnarray}$ . (Warum?!) Andererseits kann man sie aber auch schreiben als: $\begin{eqnarray} \bigcup_{y\in X}\{(g,y)\|g\in G, gx=y\} \end{eqnarray}$ Wenn man das auswertet, kommt man auf die rechte Seite Deiner Gleichung. Gruß Reksilat

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