j hoch j in Eulerform

20.01.2013, 12:40

MrsTaylor

j hoch j in Eulerform

Hey!

Ich muss $\begin{eqnarray*} j^j \end{eqnarray*}$ in Eulerform darstellen und hab damit ein Problem.

$\begin{eqnarray*} (e^{j(\frac{\pi }{2}+2n\pi)})^j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Warum \frac{\pi }{2} ?? \end{eqnarray*}$

Normal mach ich ja $\begin{eqnarray*} invers\tan(\frac{img}{real}) \end{eqnarray*}$

um auf die Grad bzgw. den Radianten zu kommen. Das wären hier dan
$\begin{eqnarray*} \frac{0}{1} oder \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

da komm ich auf maximal $\begin{eqnarray*} 45 Grad \end{eqnarray*}$ aber nicht auf die $\begin{eqnarray*} 2 Pi -- 90 Grad \end{eqnarray*}$

bitte um Rat

20.01.2013, 12:47

Mystic

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RE: j hoch j in Eulerform.. bitte um Hilfe

Zitat:

Original von MrsTaylor
$\begin{eqnarray*} Warum \frac{\pi }{2} ?? \end{eqnarray*}$

Setz einfach $\begin{eqnarray*} \varphi=\frac \pi2+2n\pi \end{eqnarray*}$ in die Eulerformel

$\begin{eqnarray*} e^{j\varphi}=\cos\varphi +j\cdot\sin\varphi \end{eqnarray*}$

ein... Was erhältst du dann? verwirrt

20.01.2013, 13:38

MrsTaylor

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Ok der hint war gut..

ich hätte einfach denken müssen wo ist Cos 0 und Sin 1 und das ist bei pi/2

danke

lg

20.01.2013, 15:56

MrsTaylor

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Könntest du mir bitte noch einen Tip zu

$\begin{eqnarray*} \cos(j\alpha ) \end{eqnarray*}$ geben?

Ich muss das als Komponenten Darstellung wiedergeben.

Die Lösung sollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(e^{j(j\alpha )}) + (e^{-j(j\alpha )}) \end{eqnarray*}$

sein.

Danke und lg

20.01.2013, 21:43

Mystic

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Naja, die Eulerformel gilt auch noch für komplexe Argumente *), d.h., es ist

$\begin{eqnarray*} e^{j(j\alpha)}=\cos(j\alpha)+j\sin(j\alpha) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{j(-j\alpha)}=\cos(-j\alpha)+j\sin(-j\alpha)=\cos(j\alpha)-j\sin(j\alpha) \end{eqnarray*}$

Bilde jetzt einfach jeweils von den linken bzw. rechten Seiten das arithmetische Mittel...

*) Der Nachweis dafür - falls erforderlich - kann wieder über die Potenzreihenentwicklungen der involvierten Funktionen geführt werden...

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