Konvergenz/Divergenz Reihe

20.01.2013, 14:23

loci

Konvergenz/Divergenz Reihe

Hallo,
ich muss die Konvergenz bzw. Divergenz der folgenden Reihen
nachweisen.
1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{ln(n)}{n^2} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^\infty \frac{1}{n\cdot ln(n)\cdot (ln(ln(n)))^p} \end{eqnarray*}$

Die 1) würde ich mit dem Verdichtungs- und dann mit dem Wurzelkriterium machen.
Also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k\cdot ln(2^k)}{2^{k^2}} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k\cdot ln(2)}{2^{k(k-1)}} \end{eqnarray*}$
Dann mit Wurzelkriterium:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k\cdot ln(2)}{2^{k(k-1)}}} = \lim_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k}\cdot \sqrt[k]{ln(2)}}{2^{k-1}}=\lim_{k \to \infty}\frac{1}{2^{k-1}}= 0 \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt?

Bei der 2) komm ich nicht weiter. Ich muss zeigen für welche $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert bzw. divergiert.
Ich habe zunächst wieder das Verdichtungskriterium angewendet, und bekomme:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k}{2^k\cdot ln(2^k)\cdot (ln(ln(2^k)))^p}=\frac{1}{ln(2)}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k\cdot (ln(k\cdot ln(2)))^p} \end{eqnarray*}$

Ich denke ich muss irgendwie die harmonische Reihe als Mino- bzw. Majorante verwenden?
Bin für jeden Tipp dankbar.

20.01.2013, 14:32

HAL 9000

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Potenzgesetze!
Nach Einsetzen von $\begin{eqnarray*} n=2^k \end{eqnarray*}$ ins Verdichtungskriterium steht aber im Nenner

$\begin{eqnarray*} n^2 = \left( 2^k \right)^2 = 2^{2k} \end{eqnarray*}$ ,

während du seltsamerweise $\begin{eqnarray*} 2^{k^2} \end{eqnarray*}$ geschrieben hast. verwirrt

Zitat:

Original von loci
Ich habe zunächst wieder das Verdichtungskriterium angewendet, und bekomme:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k}{2^k\cdot ln(2^k)\cdot (ln(ln(2^k)))^p}=\frac{1}{ln(2)}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k\cdot (ln(k\cdot ln(2)))^p} \end{eqnarray*}$

Nochmal verdichten!

20.01.2013, 15:18

loci

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Das würde dann korrigiert so aussehen. Ansonsten aber korrekt?

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k\cdot ln(2)}{2^k}} = \lim_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k}\cdot \sqrt[k]{ln(2)}}{2^k}=\lim_{k \to \infty}\frac{1}{2^k}= 0 \end{eqnarray*}$

Die nächste Reihe nochmal verdichtet:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(2)}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k\cdot (ln(k\cdot ln(2)))^p} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(2)}\sum\limits_{m=0}^\infty \frac{2^m}{2^m \cdot (ln(2^m\cdot ln(2)))^p}=\frac{1}{ln(2)}\sum\limits_{m=0}^\infty \frac{1}{(ln(2^m\cdot ln(2)))^p}=\frac{1}{ln(2)}\sum\limits_{m=0}^\infty \frac{1}{(m\cdot ln(2)+ln(ln(2)))^p} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} q:=m\cdot ln(2)+ln(ln(2)) \end{eqnarray*}$ festlege dann habe ich folgende Reihe die das Konvergenzverhalten der harmonischen Reihe hat?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(2)}\sum\limits_{q=0}^\infty \frac{1}{q^p} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schonmal

20.01.2013, 15:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von loci
Das würde dann korrigiert so aussehen. Ansonsten aber korrekt?

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k\cdot ln(2)}{2^k}} = \lim_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k}\cdot \sqrt[k]{ln(2)}}{2^k}=\lim_{k \to \infty}\frac{1}{2^k}= 0 \end{eqnarray*}$

Nein:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k\cdot ln(2)}{2^k}} = \lim_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k}\cdot \sqrt[k]{ln(2)}}{2} = \frac{1}{2} < 1 \end{eqnarray*}$

Reicht aber ebenfalls zur Konvergenz.

20.01.2013, 16:08

loci

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Ja das passiert wenn man auf die schnelle verbessert. Danke

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