Zusammenhang der Endlichkeit von Varianz und Erwartungswert

20.01.2013, 15:14

Unberechable

Zusammenhang der Endlichkeit von Varianz und Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben!

Ich wende mich mit folgendem kleinen Problem an euch:
In Definitionen zum ZGWS, den Gesetzen der großen Zahlen etc. gibt es immer Anforderungen an die Endlichkeit von EW oder Var. Leider sind diese in verschiedenen Quellen verschieden formuliert, deshalb meine Frage:

- Ist "Var[X] endlich" und "E[X^2] enldich" äquivalent?
- Wie ist der Zusammenhang zu "E[X] endlich"?

Vielen Dank für eure Antworten

MfG Basti

Meine Ideen:
Ich dachte an sowas wie Var[X] endl. <=> E[X^2] endl. => E[X] endl.
Bin mir aber nicht sicher...

20.01.2013, 16:43

HAL 9000

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RE: Zusammenhang der Endlichkeit von Varianz und Erwartungswert

Zitat:

Original von Unberechable
- Ist "Var[X] endlich" und "E[X^2] enldich" äquivalent?

Ja: Die Definition der Varianz $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}[X] := E[(X-E[X])^2] \end{eqnarray*}$ setzt ja schon erstmal die Existenz (also Endlichkeit) des Erwartungswertes voraus. Der Rest folgt aus der Darstellung $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}[X] = E[X^2]-(E[X])^2] \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Unberechable
- Wie ist der Zusammenhang zu "E[X] endlich"?

Aus der Endlichkeit von $\begin{eqnarray*} E[X^2] \end{eqnarray*}$ folgt die von $\begin{eqnarray*} E[X] \end{eqnarray*}$ , und zwar über $\begin{eqnarray*} E[X^2] \geq (E[X])^2] \end{eqnarray*}$ (beweisbar über Cauchy-Schwarz-Ungleichung oder aber Jensensche Ungleichung). Die Umkehrung gilt nicht, wie man an Beispielen sehen kann.

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