Konvergenz von Funktionenfolge

20.01.2013, 15:49

steviehawk

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Konvergenz von Funktionenfolge

Meine Frage:
Hallo Leute, ich versteh leider immer noch nicht so richtig, wie ich die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfogle untersuche:

Bsp: $\begin{eqnarray*} f_n(x) = \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} I = (0;1) \end{eqnarray*}$

So für festes x geht das Teil punktweise gegen die Funktiion $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Frage: Ist die Konvergenz auch gleichmäßig?

Hierzu untersuche ich: $\begin{eqnarray*} sup_{x \in I} |f_n(x) - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Genau hier entsteht dann mein Problem. Ich weiß nicht so recht, was ich jetzt mit diesem Supremum hier anfangen soll. Wie gehe ich denn da vor? Setze ich jetzt für t mal das ein, für das der Term im Betrag am größten wird? Lasse ich das n noch gegen unendlich laufen?

Danke für die Hilfe!!

21.01.2013, 10:11

steviehawk

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RE: Konvergenz von Funktionenfolge
Hat jemand eine Idee?

21.01.2013, 11:57

Che Netzer

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RE: Konvergenz von Funktionenfolge
Ein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ einsetzen kannst du nicht, es ist ja nicht gesagt, dass das Supremum ein Maximum ist.
Du kannst dennoch $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1)}\left(1-\sqrt[n]x\right) \end{eqnarray*}$ explizit ausrechnen, indem du einen Grenzwert bildest.

21.01.2013, 13:29

tmo

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Ich würde mal ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} (0,1) \to (0,1), x \mapsto x^n \end{eqnarray*}$ eine Bijektion ist.

Foglich gilt

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in (0,1)} (1-\sqrt[n]{x}) = \sup_{x \in (0,1)} (1-\sqrt[n]{x^n}) \end{eqnarray*}$

Das macht die Sache sehr einfach.

21.01.2013, 13:34

Che Netzer

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Dann könnte man auch gleich ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} x\mapsto 1-\sqrt[n]x \end{eqnarray*}$ eine Bijektion ist verwirrt

verwirrt

21.01.2013, 17:31

steviehawk

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Also den Ansatz mit der Bijektion verstehe ich überhaupt nicht.

Ich muss ja das Supremum von dem ganzen Term der im Betrag steht bestimmen, also gilt offensichtlich:

$\begin{eqnarray*} sup|\sqrt[n]{x} - 1| = 1 > \epsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

also kann keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen!

warum hast du jetzt: $\begin{eqnarray*} sup|\sqrt[n]{x} - 1| \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} sup| 1 - \sqrt[n]{x} | \end{eqnarray*}$ geändert?

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21.01.2013, 17:43

Che Netzer

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Zitat:

Original von steviehawk
Also den Ansatz mit der Bijektion verstehe ich überhaupt nicht.

Genau deswegen habe ich auch etwas anderes vorgeschlagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du $\begin{eqnarray*} \sup\lvert\sqrt[n]x-1\rvert=1 \end{eqnarray*}$ begründen kannst bzw. das klar ist, stimmt die Folgerung.

Und ob man nun $\begin{eqnarray*} \lvert\sqrt[n]x-1\rvert \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lvert1-\sqrt[n]x\rvert \end{eqnarray*}$ schreibt, ist natürlich egal – in der zweiten Schreibweise konnte ich aber die Betragsstriche weglassen, das war bequemer.

21.01.2013, 20:43

steviehawk

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Ob es wirklich klar ist, weiß ich noch nicht genau smile

smile

Ich dachte jetzt mal, dass sich ja $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ immer mehr der 1 annähert. Also wird das ganze ja immer kleiner für n gegen unendlich. Aber das Sup wäre 1.

Weiß nicht, wie ich das sauber zeigen könnte! Vielleicht noch ein Vorschlag?

21.01.2013, 21:23

Che Netzer

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Du hältst $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ zunächst fest.
Dann betrachtest du $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]x-1 \end{eqnarray*}$ und lässt dort $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} ? \end{eqnarray*}$ laufen. Das liefert die $\begin{eqnarray*} \sup\sqrt[n]x-1\geq1 \end{eqnarray*}$ .

22.01.2013, 09:01

steviehawk

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Ich lasse $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ laufen.

22.01.2013, 09:09

Che Netzer

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Das funktioniert auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ schlecht Augenzwinkern

Augenzwinkern

An welcher Intervallgrenze wird denn $\begin{eqnarray*} 1-\sqrt[n]x \end{eqnarray*}$ maximal?

22.01.2013, 11:21

steviehawk

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Zitat:

Original von Che Netzer
Das funktioniert auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ schlecht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hammer

dann wohl $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$

denn dann wird $\begin{eqnarray*} sup_{x\in(0,1)}|1-\sqrt[n]{x}| \end{eqnarray*}$ doch wohl gegen 1 gehen oder?

22.01.2013, 11:22

Che Netzer

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Schon eher.
Dann hast du nämlich $\begin{eqnarray*} 1-\sqrt[n]x\to1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \sup1-\sqrt[n]x\geq1 \end{eqnarray*}$ .

22.01.2013, 11:32

steviehawk

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muss ich dann noch mehr machen? also mit den $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ weil du gemeint hast, ich halte es "zunächst fest". Oder bin ich dann fertig, wenn das Supremum bestimmt hab und es nicht gegen Null geht?

22.01.2013, 11:37

Che Netzer

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Wi haben jetzt gezeigt, dass für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1)}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\geq1\,. \end{eqnarray*}$
Da kann das Supremum nicht gegen Null gehen, wenn es immer mindestens Eins ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.01.2013, 11:41

steviehawk

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Okay, also ich schaue mir bei der glm. Konvergenz die x aus dem Intervall an und schaue für welches x der Term am größten wird. So finde ich mein Supremum wenn kein x mehr drin ist oder für alle x der Term gegen Null strebt, dann ist die Konvergenz gleichmäßig.

Ich dachte immer ich muss da auch n gegen unendlich betrachten, dann ginge es ja immer gegen Null Hammer

Hammer

22.01.2013, 11:44

Che Netzer

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Zitat:

Original von steviehawk
oder für alle x der Term gegen Null strebt, dann ist die Konvergenz gleichmäßig.

Das ist punktweise Konvergenz.

Um gleichmäßige Konvergenz nachzuweisen, zeigt man, dass das Supremum der Differenz (im Betrag) gegen Null geht.
Dabei kann man dieses Supremum entweder direkt berechnen oder nach oben abschätzen.
Um gleichmäßige Konvergenz zu widerlegen, kann man zeigen, dass das Supremum nie unter einen bestimmten positiven Wert fällt.

22.01.2013, 11:55

steviehawk

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Ich schnalle es glaube ich noch nicht ganz. Das Bsp. hier verstehe ich auch noch nicht!

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = sin(\frac{x}{n}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in I = [-1,1] \end{eqnarray*}$

für festes x geht der Term gegen 0 also ist die Nullfunktion meine Grenzfunktion.
Jetzt untersuche ich die glm. Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} sup_{x \in I}|sin(\frac{x}{n})| \end{eqnarray*}$

wenn ich n zunächst festhalte, dann wird $\begin{eqnarray*} sup_{x \in I}|sin(\frac{x}{n})| \end{eqnarray*}$ für x=1 bzw x=-1 (hab ja Betrag) am größten.

Wieso ist das jetzt glm konvergent?

EDIT: Jetzt muss ich doch noch schauen, was mit n ist oder?

22.01.2013, 12:26

Che Netzer

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Zitat:

Original von steviehawk
wenn ich n zunächst festhalte, dann wird $\begin{eqnarray*} sup_{x \in I}|sin(\frac{x}{n})| \end{eqnarray*}$ für x=1 bzw x=-1 (hab ja Betrag) am größten.

Ja, und damit kannst du dieses Supremum direkt ausrechnen (abhängig von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ). Danach betrachte $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

22.01.2013, 12:27

steviehawk

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Okay, wenn ich dann $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ laufen lasse geht das Ganze gegen Null und ich habe glm. Konvergenz! smile

smile

22.01.2013, 12:34

Che Netzer

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Genau, denn $\begin{eqnarray*} \sin(\tfrac1n)\to0 \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

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