Exponentialfunktion - Diskussion einer Funktionsschar

15.02.2007, 17:05

Kahuna

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Exponentialfunktion - Diskussion einer Funktionsschar

Hallo,

Ich brauche für Dienstag folgende Aufgabe und vermute mal dass ich an ein paar Stellen nicht weiterkommen werde. Ich bin aber momentan noch am rechnen.

Ich werde mal versuchen so wenig Hilfe wie möglich in Anspruch zu nehmen... Ich wollte halt nur schomma die Aufgabe posten damit es nacher nicht so knapp mit der Zeit wird (ist für Dienstag)

Stimmen die Ableitungen soweit schonmal ?

$\begin{eqnarray*} f'(x)= (e^x) * 2((e^x) - k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= (e^x) * 2((e^x)-k) + e^x * 2(e^x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (e^x) * ((e^x)-2k + 1 * (e^x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)= (e^x) * 2((e^x)-k) + e^x * 2(e^x) + (e^x) * 2(e^x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (e^x) * ((e^x) - 2k + 1 * (e^x) + 1 * (e^x)) \end{eqnarray*}$

http://img102.imageshack.us/img102/7817/unbenanntkw1.jpg

15.02.2007, 17:09

sqrt4

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wie sollen wir das überprüfen ohne die eigentliche Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$

15.02.2007, 17:13

Airblader

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@sqrt4

Da ist ein Bild angehängt, dauert aber eeeeewig bis es angezeigt wird.

air

15.02.2007, 17:15

sqrt4

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f'(x) stimmt schon mal

aber bei der 2. Ableitung hast du dich verklammert Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2007, 17:17

Pi-tsch

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Meine zweite Ableitung sieht ein wenig anders aus:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 2e^x * (2e^x - k) \end{eqnarray*}$

f'(x) ist richtig! smile

smile

15.02.2007, 17:39

Kahuna

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Hmh hab ma den Host gewechselt jetzt müsste es gehen...

Also hier verbessert nochma:

$\begin{eqnarray*} f(x)= ((e^x) - k)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= (e^x) * 2((e^x) - k) \end{eqnarray*}$
Und nach Produktregel muss doch die zweite so aussehen:
$\begin{eqnarray*} f''(x)= (e^x) * 2((e^x)-k) + e^x * 2(e^x) \end{eqnarray*}$

Also e hoch x abgeleitet mal den 2. Faktor + e hoch x mal die Ableitung des 2. Faktors bzw f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

So stehts doch auch im Buch ...

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15.02.2007, 17:42

sqrt4

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soweit ist es ja auch richtig, aber du hast es vorher falsch zusammengefasst

15.02.2007, 17:43

Kahuna

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und wie kommt pi'tsch dann auf dieses kurze ergebnis
?

15.02.2007, 17:46

sqrt4

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$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ausklammern

15.02.2007, 18:09

Kahuna

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Also wenn man
$\begin{eqnarray*} f''(x)= (e^x) * 2((e^x)-k) + e^x * 2(e^x) \end{eqnarray*}$

umschreibt hat man doch erstmal:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= 2*(e^x) * ((e^x)-k) + (e^x) * 2(e^x) \end{eqnarray*}$

und da kann man 2e^x ausklammern:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= 2(e^x) * ((e^x) - k) + (e^x) \end{eqnarray*}$

15.02.2007, 18:17

sqrt4

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ja dann stehts ja schon fast da!!

15.02.2007, 18:20

Kahuna

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Aber acuh nur fast... wie krieg ich denn das e^x am ende noch in die Klammer ?

15.02.2007, 18:22

sqrt4

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Zitat:

Original von Kahuna

$\begin{eqnarray*} f''(x)= 2(e^x) * ((e^x) - k) + (e^x) \end{eqnarray*}$

du hast eine klammer vergessen

$\begin{eqnarray*} f''(x)= 2(e^x) * ((e^x) - k) + (e^x))=2e^x(2e^x-k) \end{eqnarray*}$

15.02.2007, 18:31

Kahuna

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AHH jetzt machts *klick*

Also
$\begin{eqnarray*} f(x)= ((e^x) - k)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= (e^x) * 2((e^x) - k) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2e^x * ((2e^x) -k) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=2e^x * ((4e^x) -k) \end{eqnarray*}$

Korrekt ? Gut dann schau ich mal weiter und melde mich bei Bedarf...

THX schonmal

15.02.2007, 18:58

sqrt4

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stimmt

Freude

18.02.2007, 15:20

Kahuna

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Also mein nächstes Problem wäre die Bestimmung der Asymptote. Ich hab mich schonmal etwas schlau gemacht und weis daher, dass ich den Limes für +/- Unendlich bestimmen muss...

Aber ansonsten kA wie man bei dieser Funktion die A. bestimmen kann. Bzw. was ist das dann überhaupt ? Die A. ist doch eine weitere Funktion oder ?

18.02.2007, 16:21

sqrt4

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Dann bestimmte erstmal den Limes, dann sehen wir weiter.

18.02.2007, 18:16

Kahuna

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Ich frage mich wie das geht ?

Also x=0 ist eine Asymptote und die andere liegt (wenn man für k mal was einsetzt) irgendwie so da drauf...

18.02.2007, 18:21

sqrt4

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1. wie kommst du darauf, dass x=0 asymptote ist?

2. zu den Grenzwerten.

Ihr werdet das ja in der Schule schon mal gemacht haben.

einmal betrachtest du x gegen unendlich

und einmal gegen minus unendlich.

So wie immer eben.

18.02.2007, 18:39

Kahuna

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Also die X-Achse ist doch eine Asymptote weil sich der Graph nirgends weiter annähert als an die X Achse.

Und zu 2.) Klar haben wir, nur inwiefern bekomme ich eine Funtkion zur Asympote heraus wenn ich nur weis das lim x-> +Unendlich = + unendlich und das lim x -> - Unendlich = + Unendlich ist ?

Nochwas:

Bei der notw. Bed erhalte Ich zwar eine Extremstelle bei $\begin{eqnarray*} x = log (k/2) \end{eqnarray*}$ aberdie hinreichende Bedingung klappt dann nicht denn:

$\begin{eqnarray*} f'' (log (k/2)) = 0 \end{eqnarray*}$

Auf dem Graphen erkennt man aber einen Extrempunkt, einen Tiefpunkt der auf der X Achse liegt

Das ist ja alles sehr mysteriös: http://www.mathetools.de/funkana/
Liefert dieses Tool überhaupt die richtigen Werte ?
Also ich hab mit dem Vorzeichenwechselkriterium einen TP an der Stelle log 1... Aber hier wird ja was ganz anderes gezeigt...

Naja vlt. sollte man sich nich darum kümmern. Mir wär schon geholfen wenn wüsste warum mit der herrkömmlichen Methode keine Extrem/ Wendestellen zu finden sind obwohl der Graph welche hat ? Ist das ein SOnderfall oder so ?

19.02.2007, 14:35

Kahuna

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So bin jetzt ein ganzes Stück weiter.
Ich habe die Extrem und Wendepunkte berechnet:

EP (ln k | 0) und WP (ln (k/2) | k²/4 )

Die Ortskurve zu berechnen ist mir zu schwer, aber ich glaube dass man sich ein k1 und k2 nimmt und daraus zwei Wendepunkte macht und damit dann mithilfe der 2 Punkte Form eine Geradengleichung bestimmt.... aber für die Aufgabe ist die Ortskurve eh nicht wichtig, deshalb lassen wir das ma weg...

So nächstes Problem ist Aufgabe 3.)
Da ist ein achsenparalles Rechteck, also doch eigentlich ein Parallelogramm. Wie finde ich denn jetzt die ganze Daten, also Höhe, Breite und Eckpunktkoordinaten raus ?

Wie schwierig ist denn bitte diese Aufgabe ?

19.02.2007, 19:39

sqrt4

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1. zu den Grenzwerten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} (e^x-k)^2= +\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} (e^x-k)^2=k^2 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} y=k^2 \end{eqnarray*}$ Asymptote ist. Deine bezeichnung $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ würde die y-Achse bezeichnen, die ist aber sicher nicht Asymptote!

2. Extrema

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

Da komme ich auf den Wert $\begin{eqnarray*} x=ln(k) \end{eqnarray*}$ . Einfach nochmal nachrechnen...

und $\begin{eqnarray*} f''(ln(k))=2k^2>0 \end{eqnarray*}$

Edit: sry hab den letzten Post überlesen, lass das jetzt der vollständgkeit wegen mal stehen.

3. Ortskurve.

Wie der Name schon sagt muss es sich dabei nicht um eine Gerade handeln!

...rest folgt noch

Edit: zu Aufgabe 3

Bestimme erstmal die Wendetangente !

Erst dann kannst du weiterrechenen.
Ps: Skizzen schaden nicht !

19.02.2007, 19:53

Kahuna

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Cool du bist noch da...

also ich rechne auch schon seit 10 stunden oder so, weil ichs nicht richtig kann leider

Als Wendetangente hab ich aus dem WP (ln (k/2) | k²/4) die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=k²/2 * (-x - ln (k/2) - (1/2)) \end{eqnarray*}$ heraus

PS Wie kommt man denn an die Ortskurve ? Ich habe ja nur den Wendepunkt mit dem Paramter k ...

19.02.2007, 20:02

sqrt4

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ich hab fast die gleiche Wendetangente:

$\begin{eqnarray*} y=-\frac{k^2}{2}x+(\frac{k^2}{4}+\frac{k^2}{2}ln(\frac{k}{2}))=\frac{k^2}{2}(-x+(\frac{1}{2}+ln(\frac{k}{2}))) \end{eqnarray*}$

der y-Achsenabschnitt ist bei mir genau das negative von dir.

19.02.2007, 20:10

Kahuna

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sehr gut, dann blamier ich mich schomma nich total morgen

wenn ich noch die ortskurve hätte wär meine leistung sich voll ok, also kannste noch eben sagen wie man dadrauf kommt wenn man nur diesen WP hat ?

19.02.2007, 20:12

sqrt4

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Zur Ortskurve

der x- Achsenabschnitt des Wep ist in Abhängigkeit von k

$\begin{eqnarray*} x(k)=ln(\frac{k}{2}) \end{eqnarray*}$ (1)

und der y- Achsenabschnitt:

$\begin{eqnarray*} y(k)=\frac{k^2}{4} \end{eqnarray*}$ (2)

Um die Ortskurve zu erhalten muss man das k eliminieren. Damit erhält man dann eine Fkt. die nur von x abhängt.

z.b. folgt aus (1)
$\begin{eqnarray*} 2e^x=k \end{eqnarray*}$

das setzt man in (2) ein und erhält:
$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{(2e^x)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Voila das ist die Ortskurve Augenzwinkern

Augenzwinkern

die man natürlich noch vereinfachen kann

19.02.2007, 20:57

Kahuna

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Aha also = e^2x

Also vielen Dank nochmal für die ganze Hilfe!! Tanzen

Tanzen

19.02.2007, 22:26

bounce

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jau die Ortskurve stimmt.

cya

20.02.2007, 16:05

Kahuna

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Hi

Ich hab jetzt doch noch was länger Zeit dafür. Könnt ihr mir nochmal n Tip geben wie ich die Abmaße und Koordinaten dieses achsenparallen Rechtecks herausfinde ?

Also als erstes würde ich den Schnittpunkt von Wendetangente und x Achse bestimmen...

20.02.2007, 16:57

sqrt4

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Ich würde erstmal die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x-Achse und der Asymptote ausrechnen.

Zum Begriff Achsenparalleles Rechteck.
Damit ist wohl gemeint, dass die Seiten des Rechtecks parallel zu den Achsen des Koordinatensystems sind. Damit kannst du dann die restlichen Eckpunkte des Rechtecks ausrechnen.(inkl. Höhe, Fläche und was sonst noch so gefordert ist)

21.02.2007, 14:08

Kahuna

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zu 3.)
Also nochmal die Gleichung der Wendetangente:

$\begin{eqnarray*} f(x)=k²/2 * (-x + 1/2 + ln k/2) \end{eqnarray*}$

Schnittpunkt Wendetangete Asymptote

$\begin{eqnarray*} (-1/ 2k² -3/2 + ln (k/2) | k²) \end{eqnarray*}$

Schnittpunkt Wendetangente X Achse

$\begin{eqnarray*} ((1/2) + ln (k/2) | 0) \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich der Flächeninhalt des Rechtecks: -(1/2) - 2k²
-> Aber ich weis schon dass das richtige Ergebnis für den Flächeninhalt des Rechtecks "2k²" ist... ich find aber nicht den Fehler... Ist die Wendetangente falsch ? Kann ja nur n ganz kleiner Fehler sein....

Und zu 4.)
Hab ich fertig: Kommt wie bei 3.) auch 2k² raus ....

21.02.2007, 19:54

Kahuna

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Ahahahaha....

hab jetzt alles nochma durchgerechnet, alle Fehler gefunden und es stimmt sogar alles...!!

Sieg über die Mathematik: Knie nieder Mathe Gott

Gott

THX Nochma!!

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