Stammfunktion bestimmen

20.01.2013, 16:18

Andy2203

Stammfunktion bestimmen

Meine Frage:
Hallo!
Ich muss die Stammfunktion bestimmen von

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}* \sqrt{x+2} x>0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Stammfunktionen einzeln sind doch:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} ==> F(x)= \frac{x^{3} }{3} +c<br /> <br /> f(x)=\sqrt{x+2} ==> F(x) = \frac{2}{3}*\sqrt{(x+3)^3} +c<br /> \end{eqnarray*}$

Aber das hilft mir nicht wirklich. Was muss ich denn machen wenn da so ein Produkt ist? Gibt es gute Videos wo man das erklärt bekommt? Ich habe nichts gefunden

20.01.2013, 17:04

zyko

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RE: Stammfunktion bestimmen
Aus deinen Ausführungen entnehme ich, dass es heißen muss:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}* \sqrt{x+2} \mbox{ mit }x>0 \end{eqnarray*}$ .
Diese Funktion kann man integrieren, indem man $\begin{eqnarray*} t^2=x+2 \end{eqnarray*}$ substituiert.
Der entstehende Integrand kann in eine Summe von verschiedenen t-Potenzen umgeformt werden, die mit einfachen Integrationsregeln gelöst werden.

20.01.2013, 17:22

Andy2203

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RE: Stammfunktion bestimmen
Danke erstmal für die Antwort.

Leider kann ich mir darunter nicht viel vorstellen.

Ich blätter gerade durch mein Mathescript. Ich finde einfach kein vernünftiges Beispiel.
Gibt es sowas im Internet? Suche schon die ganze Zeit. Ich muss ja zumindest mal an einem Besipiel sehen wie das geht.

20.01.2013, 17:35

zyko

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RE: Stammfunktion bestimmen

Zitat:

Leider kann ich mir darunter nicht viel vorstellen.

Meinst du damit den Begriff "Substitution"?
Damit meine ich, dass du $\begin{eqnarray*} t^2={x+2} \end{eqnarray*}$ setzt, dieses nach $\begin{eqnarray*} x =t^2-2 \end{eqnarray*}$ auflöst und damit $\begin{eqnarray*} dx=2t dt \end{eqnarray*}$ berechnest.
Damit ergibt sich für dein Integral
$\begin{eqnarray*} \int x^{2}*%20\sqrt{x+2} dx = \int (t^2-2)^2\cdot t\cdot 2tdt \end{eqnarray*}$ .
Diesen Integranden kannst du jetzt durch Ausmultiplizieren des Klammerausdrucks in eine Summe von t-Potenzen bringen, die Summanden können einzeln integriert werden.

AchtungAchtung: Falls beim Integral Grenzen angegeben sind, dann gelten diese Grenzen für die x-Werte und müssen deshalb auch in die entsprechenden t-Werte umgerechnet werden.

20.01.2013, 17:38

Andy2203

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RE: Stammfunktion bestimmen
Danke! Freude

Es ist garkein Integral da. Aber jetzt weiß ich was zutun ist. Ich probiere es mal.

20.01.2013, 17:45

original

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RE: Stammfunktion bestimmen
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}* \sqrt{x+2} \mbox{ mit }x>0 \end{eqnarray*}$ .

Variante:

Diese Funktion kann man auch integrieren, indem man $\begin{eqnarray*} t=x+2 \end{eqnarray*}$ substituiert.

->
$\begin{eqnarray*} \int \!( t-2)^2 \cdot t^{\frac{1}{2} }\, dt \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \int \!( t^{\frac{5}{2} } - 4\cdot t^{\frac{3}{2} }+4\cdot t^{\frac{1}{2} })\, dt \end{eqnarray*}$ .

... summandenweise .. usw..

usw

20.01.2013, 17:51

Andy2203

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RE: Stammfunktion bestimmen
Ich hoffe, dass ich nicht alles falsch ausgerechnet habe vor lauter euphorie Prost

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{7}t^{7} -\frac{8}{5}t^{5} + \frac{8}{3}t^{3} \end{eqnarray*}$

Dann muss ich rücksubstituieren indem ich noch

$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$

durch

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$

ersetze ?

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