Basis eines Bildes, Basis eines Kerns von f

20.01.2013, 19:08

Escapado

Basis eines Bildes, Basis eines Kerns von f

Hallo, ich habe eine Frage zum Thema Basen von Bildern und Kernen.
Ich habe eine lineare Abbildung gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 1&1&3&-3\\1&-1&1&1\\0&-1&-1&2\\-2&5&1&-8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich möchte nun die Basis des Bildes und des Kerns von f bestimmen.

Ich bin mir noch nicht ganz sicher, ob ich das richtig verstanden habe, deswegen frage ich mal zur Sicherheit, ob mein Vorgehen richtig ist:
Ich vertausche Zeilen und Spalten der Koeffzientenmatrix und wende den Gauß-Algorithmus an zum finden der Basisvektoren des Bildes.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&0&-2\\1&-1&-1&5\\3&1&-1&1\\-3&1&2&-8 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&1&0&-2\\0&2&1&-7\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix} \textrm{sind Basisvektoren des Bildes} \end{eqnarray*}$

Und für den Kern habe ich mir überlegt:
Der Kern von f ist ja die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&3&-3\\1&-1&1&1\\0&-1&-1&2\\-2&5&1&-8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun auf die Koeffizientenmatrix den Gauß-Algorithmus anwende , dann erhalte ich ein LGS, womit ich den Kern bestimmen kann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&3&-3\\1&-1&1&1\\0&-1&-1&2\\-2&5&1&-8 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&-1&1&1\\0&-1&-1&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
LGS:
$\begin{eqnarray*} I: a-b+c+d = 0 II: -b+2d = 0 \end{eqnarray*}$
Durch Lösen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2c+d \\ -c+2d \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Damit ist der Kern von f
$\begin{eqnarray*} ker(f) = \left\{ (-2c+d,-c+2d,c,d | c,d \in \mathbb{R})\right\} \end{eqnarray*}$

Was auch geschrieben werden kann als
$\begin{eqnarray*} c \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Man sieht hier ja gleich, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind und, dass alle Vektoren im Kern von f als Linearkombination von den beiden geschrieben werden können, sie sind also eine Basis des Kerns von f.

Meine Frage: Bin ich richtig vorgegangen?

21.01.2013, 09:51

Reksilat

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RE: Basis eines Bildes, Basis eines Kerns von f
Hallo Escapado,

Ja, Dein Vorgehen und Deine Lösung sind richtig. Freude

Als kleine Überlegung:
Wenn Ihr bereits gelernt habt, dass $\begin{eqnarray*} \dim \mathbb{R}^4=\dim{\rm Bild}(f)+\dim {\rm Kern}(f) \end{eqnarray*}$ ist, kann man sich etwas Arbeit sparen. Nachdem Du den Kern ausgerechnet hast, weißt Du mit der Formel, dass auch das Bild zweidimensional sein musst und kannst einfach zwei linear unabhängige Spalten der gegebenen Matrix als Basis für das Bild auswählen. Augenzwinkern

Gruß
Reksilat

21.01.2013, 09:52

klarsoweit

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RE: Basis eines Bildes, Basis eines Kerns von f

Zitat:

Original von Escapado
Meine Frage: Bin ich richtig vorgegangen?

Im Prinzip ja, wobei du das Ablesen der Basisvektoren aus der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-1&1&1\\0&-1&-1&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für meine Begriffe unnötig kompliziert machst.

Ich gehe immer so vor: bei obiger Matrix sind x_3 und x_4 die unabhängigen Variablen. Ich wähle dann sukzessiv eine unabhängige Variable = 1 und die andere(n) gleich Null und löse dann auf.

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