Extremwertaufgabe (Parabel und Tangente)

21.01.2013, 00:42	Atze_Atze	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe (Parabel und Tangente) Meine Frage: Hallo, Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe. Folgende Aufgabe ist gegeben: Es sei die Funktion y = f(x) = x^2 + 1, X Element [0,1] gegeben. Für welchen Wert x0 Element [0,1] ist die Fläche A(x0) unter der Tangente an f in P(x0,f(x0)) maximal? Meine Ideen: Also ich kann mir das schon relativ gut vorstellen. Ich habe eine Parabel, die eine Tangente im Punkt P hat. Je Nachdem, wie ich das P jetzt wähle, ändert sich die Fläche unter der Tangente in den Granzen 0 und 1. Liege ich da soweit richtig? Jetzt habe ich zuerst die Tangentengleichung aufgestellt. Die Allgemeine Form lautet y = mx + n. Der Anstieg m ist die erste Ableitung der Funktion, also m = 2x. Jetzt habe ich den Punkt P in die Gleichung eingesetzt und komme auf folgende Tangentengleichung: y = 2x + (f(x0)/2x0) Ist das schonmal richtig? Wenn ja, wie kann ich jetzt die Fläche berechnen? Ändert sich der Anstieg der Gerade gar nicht oder muss ich das auch noch abhängig machen? Gefragt ist dann noch nach dem Maximalwert von A? Wann kann ich darunter verstehen? Vielen Dank für jede Hilfe
21.01.2013, 02:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tangentengleichung lässt sich so nicht nachvollziehen. Wie hast du diese ermittelt? Bemerkung: m = 2x ist nicht richtig, sondern m = 2x0 (!) x ist (und bleibt) die Laufvariable. Somit muss die Tangentengleichung mit y = 2x0*x ... beginnen. mY+
22.01.2013, 13:21	Atze_Atze	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie stelle ich jetzt die Tagentengleichung auf? Ich weiß, dass ich diese integrieren muss, damit ich die Fläche herausbekomme :/
22.01.2013, 13:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht unbedingt. Denn die Fläche ist ein Trapez mit der Höhe 1 und die beiden Parallelseiten sind die y-Werte bei x = 0 und x = 1. Allerdings kannst du das durchaus auch mit dem bestimmten Integral lösen. In jedem Fall wird dazu die Geradengleichung benötigt, das ist klar. Du weisst schon, dass die Steigung m = 2x0 beträgt. Berechne dann b durch Einsetzen des Punktes (x0; x0² + 1), welcher auf der Parabel liegt, in y = 2x0 x + b. Darin kommt ebenfalls die - zu berechnende Variable - x0 vor. Nach der Integration erhältst du die Fläche, ebenfalls ausgedrückt in x0, welche nun nach dieser Variable maximiert werden kann. mY+
22.01.2013, 22:16	Atze_Atze	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, ich habs Hab als Tangentengleichung folgendes raus: f(x) = 2x0x - x0^2 + 1 Das habe ich jetzt integriert und folgende Gleichung erhalten: f(x) = [x0x^2 - (x0^2)x + x] in den Grenzen 0,1 Dann habe ich die obere und untere Grenze eingesetzt (Null und Eins) und damit die Gleichung für die Fläche in Abhängigkeit von x0: A(x0) = - x0^2 + x0 + 1 Das habe ich dann abgeleitet und kam auf x0 = 0,5 Also ist meine Fläche bei x0 = 0,5 am größten. Das könnte ich jetzt wieder in meine Flächengleichung (A(x0)) einsetzen und hätte sogar gleich die Fläche raus. Ich dachte, ich schreibe das hier mal. Vielleicht gibt es Einen, der auch nach der Lösung sucht Danke fürs Helfen und einen schönen Abend noch
23.01.2013, 19:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestens! Danke für das Abschließen deiner Aufgabe, sie ist sehr lehrreich! Gr mY+
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