Komplexe Zahl arg(z^{n}) berechnen.

21.01.2013, 00:44

steveo123

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Komplexe Zahl arg(z^{n}) berechnen.

Meine Frage:
Hallo,

ich soll $\begin{eqnarray*} arg(z^{6}) \end{eqnarray*}$ berechnen. $\begin{eqnarray*} z = -4+j \end{eqnarray*}$

Jetzt die Frage:Wie stellt man das am besten an? In meinen Taschenrechner kann man das leider nicht so $\begin{eqnarray*} arg((-4+j)^{6}) \end{eqnarray*}$ eintippen.

Meine Ideen:
Wäre es so denn auch richtig $\begin{eqnarray*} arg((-4+j)^{2}*(-4+j)^{2}*(-4+j)^{2}) = -1,47° \end{eqnarray*}$ bzw. so einfach oder habe ich einen falschen Ansatz?

21.01.2013, 02:18

mYthos

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Man kann es zwar im Prinzip so rechnen, aber warum verwendest du nicht gleich den Satz von Moivre? Also arg(-4 + j) berechnen und dieses dann mit 6 multiplizieren?

Allerdings wird das Argument (der Winkel) NICHT in Grad, sondern in rad (Radiant, Bogenmaß!) angegeben!
Wie bist du auf -1,47° gekommen, was sicher nicht stimmt? (4,81 rad müssten es sein)

Anmerkung: Der Winkel ist bis auf Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ bestimmt.

mY+

21.01.2013, 14:55

steveo123

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Wie bist du denn auf 4,81 rad gekommen? Wenn ich $\begin{eqnarray*} arg(-4+i) = 2,89 * 6 \end{eqnarray*}$ rechne bekomme ich nur 17,38 heraus. Mein Rechner ist auf Radiant eingestellt.

21.01.2013, 15:08

Steffen Bühler

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Hat er doch geschrieben:

Zitat:

Der Winkel ist bis auf Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Zieh also mal einfach $\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$ ab.

Viele Grüße
Steffen

21.01.2013, 15:17

steveo123

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Und wieso muss man da überhaupt etwas abziehen und warum $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$ ?

21.01.2013, 15:34

Steffen Bühler

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Naja, Du hast den Winkel ja sozusagen "überdreht", indem Du ihn mal sechs genommen hast. Wissen willst Du ja nur den "normalen" Winkel zwischen 0 und 2pi, den "Rest" sozusagen.

Wie bei der Uhr eben. Wenn Du um dreiundzwanzig Uhr was in den Ofen stellst, das zwei Stunden braucht, ist der nicht um fünfunzwanzig Uhr fertig, sondern um eins.

Viele Grüße
Steffen

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21.01.2013, 15:36

Che Netzer

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wenn Du um dreiundzwanzig Uhr was in den Ofen stellst, das zwei Stunden braucht, ist der nicht um fünfunzwanzig Uhr fertig, sondern um eins.

Wird da eine Leiche verbrannt oder was? verwirrt

verwirrt

21.01.2013, 15:41

steveo123

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Ahhhh ok, danke smile

smile

Das wäre dann so auch richtig, oder?

$\begin{eqnarray*} z= 1-2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} arg(z^{6})= \left[(arg(1-2i))*6)-4\pi\right]= -19,21 rad \end{eqnarray*}$

21.01.2013, 15:49

Steffen Bühler

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Nein, es geht immer darum, den Winkel zwischen 0 und 2pi zu bringen. Hier hast Du ja etwa -6,6, Du mußt in diesem Fall Vielfache von 2pi addieren, um in diesen Bereich zu kommen.

Viele Grüße
Steffen

21.01.2013, 15:52

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wenn Du um dreiundzwanzig Uhr was in den Ofen stellst, das zwei Stunden braucht, ist der nicht um fünfunzwanzig Uhr fertig, sondern um eins.

Wird da eine Leiche verbrannt oder was? verwirrt

verwirrt

Ein Braten kann durchaus zwei Stunden im Ofen zubringen, allerdings um diese Uhrzeit?

21.01.2013, 15:52

steveo123

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Also dann hier 5,92 rad?

21.01.2013, 15:53

Steffen Bühler

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So ist es!

Viele Grüße
Steffen

21.01.2013, 16:16

steveo123

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Schon mal vielen Dank an alle.

Hätte da aber noch ein paar Fragen zu Komplexen Zahlen bzw. Aufgaben.

$\begin{eqnarray*} z=-4+i ; w=2i \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} Im\left[zz^{-}+i(ww^{-})^{-1} \right] \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} z^{-} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w^{-} \end{eqnarray*}$ soll konjugiert komplex heißen ( Wusste nicht wie man das im Editor macht.).

Würdet ihr das so rechnen bzw. stimmt das Ergebnis?

$\begin{eqnarray*} z*z^{-}=\left(-4+i\right)*\left(-4-i\right)= 17 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i*\left(w*w^{-} \right)=i*\left(\frac{1}{2i*-2i} \right)= \frac{1}{4}i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Im(17+\frac{1}{4}i)= \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

21.01.2013, 16:27

Steffen Bühler

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In der Aufgabe ist doch noch so ein "hoch -1" drin.

Viele Grüße
Steffen

21.01.2013, 16:35

steveo123

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Zitat:

Original von steveo123
$\begin{eqnarray*} i*\left(w*w^{-} \right)=i*\left(\frac{1}{2i*-2i} \right)= \frac{1}{4}i \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} i*\left(w*w^{-} \right) \end{eqnarray*}$ fehlt das hoch 1. Es wurde aber mitgerechnet.

21.01.2013, 16:41

Steffen Bühler

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Stimmt, hab ich übersehen. Dann paßt's.

Viele Grüße
Steffen

21.01.2013, 16:48

steveo123

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Also würdest du das genau so rechnen, oder?

Dann noch eine

2) $\begin{eqnarray*} e^{iwz} \end{eqnarray*}$

Würdest du die Lösung so angeben oder anders ausrechen?

$\begin{eqnarray*} w*z=(2i)*(-4+i)=-2-8i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i*(w*z)=i(-2-8i)=8-2i \end{eqnarray*}$
ist
$\begin{eqnarray*} e^{iwz}= e^{8-2i} \end{eqnarray*}$

21.01.2013, 17:00

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von steveo123
Also würdest du das genau so rechnen, oder?

Ja.

Zitat:

Original von steveo123
$\begin{eqnarray*} e^{iwz}= e^{8-2i} \end{eqnarray*}$

Könnte so stehenbleiben, falls nicht immer die kartesische Schreibweise gefordert ist (was ich bei Euch nicht weiß). Dann müßtest Du noch

$\begin{eqnarray*} e^8 \cdot e^{-2i} \end{eqnarray*}$

draus machen und über Euler umformen.

Viele Grüße
Steffen

21.01.2013, 17:17

steveo123

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Ne da steht nicht explizit in kartesische Form, nur das man die Tabelle ausfüllen soll.

Hier noch eine:

3) $\begin{eqnarray*} Ln(zw^{3}) \end{eqnarray*}$

Würdest du das auch so rechnen?

$\begin{eqnarray*} ln(zw^{3})=ln(| zw^{3}|)+i*Arg(zw^{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w^{3}=(2i)^{2}*(2i)=-8i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z*w^{3}=(-4+i)*(-8i)= 8+32i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | z*w^{3}| = \sqrt{8^{2}+32^{2}} =8\sqrt{17} \end{eqnarray*}$
dann als Lösung
$\begin{eqnarray*} ln(8\sqrt{17})+i*Arg(8+32i)=3,496=3,5 \end{eqnarray*}$

21.01.2013, 17:22

Steffen Bühler

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Was ist mit arg(8+32i)? Das ist nicht Null!

Viele Grüße
Steffen

21.01.2013, 17:27

steveo123

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Ah sorry.

$\begin{eqnarray*} i*Arg(8+32i)=1,326i=1,33i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(8\sqrt{17})+i*Arg(8+32i)=3,496+1,33i \end{eqnarray*}$
so?

21.01.2013, 17:31

Steffen Bühler

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Perfekt!

Viele Grüße
Steffen

21.01.2013, 17:31

steveo123

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Super! Vielen Dank dir! Freude

Freude

21.01.2013, 19:41

mYthos

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@steveo123

Bitte NICHT mehrere verschiedene Aufgaben in EINEM Thread stellen, dadurch wird dieser unübersichtlich. In Zukunft also bitte ein neues Thema erstellen, ansonsten wird die Moderation das Thema auftrennen.

mY+

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