Lagrange Ansatz (Minimum) Geometrische Interpretation

21.01.2013, 02:27

Sumpfhuhn

Lagrange Ansatz (Minimum) Geometrische Interpretation

Meine Frage:
Hallo allerseits,
Ich bin mir bei der Lösung meiner Aufgabe nicht sicher.

Es handelt sich um eine Kostenfunktion und einer ''Nebenbedingung''

Kann ich das Ergebnis als Tangente so eintragen oder handelt es sich um einen Punk P(8/12)? oder muss ich den Tangierten Punkt berechnen?

Danke schon mal im voraus!

Meine Ideen:
Habe meine Rechnung hochgeladen:

21.01.2013, 03:16

mYthos

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Was verstehst du unter einem "tangierten Punkt"? Warum sagst du nicht einfach Berührungspunkt dazu?
Der Extrempunkt stimmt nicht, weil du das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ falsch berechnet hast (es ist 0,5 anstatt 0,25, du hast auf das Quadrat vergessen). In Wirklichkeit lauten also x1 = 6, x2 = 4.
_________

Die Tangente im Punkt (6; 4) (dieser ist der Berührungspunkt) hat die Eigenschaft, dass jeder Punkt auf ihr die Bedingung 2x1 + 3y1 = 24 erfüllt. (Weise dies nach, indem du die Tangentengleichung berechnest)

In der Tat ist dies bemerkenswert, denn die 24 stammen von der Produktionsfunktion und die Koeffizienten der Tangentengleichung von der Nebenbedingung. Der Berührungspunkt erfüllt somit beide Forderungen, nämlich die Nebenbedingung und jene nach den minimalen Kosten.
_____________

Die "klassische" Extremwertberechnung liefert natürlich ebenso das gleiche Ergebnis und das sogar etwas schneller:

z = 2x + 3y; NB: xy = 24 --> y = 24/x
z = 2x + 72/x
z' = 2 - 72/x² --> x² = 36 --> x = 6 (nur positiv sinnvoll) --> x --> ...
z''(6) > 0 Minimum

mY+

21.01.2013, 04:03

Sumpfhuhn

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Hallo mYthos,
danke für die Antwort.

Ich habe jetzt eine weile gesucht aber kann das Quadrat nicht finden, welches du meinst.
Wo genau fehlt es denn und wieso?

Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch was die Tangentengleichung betrifft, in der Schule haben wir das noch anders gemacht.. nämlich y=Steigung*x+Schnittpunkt der y Achse. Hier bekomme ich aber die Steigung an der Tangente nicht heraus.

Für mich ist diese Aufgabe in der Hinsicht neu dass die Nebenbedingung keine Gerade ist.
Leider MUSS ich die Lagrange-Formel benutzen.

Die Aufgabenstellung lautet nämlich:

''Bestimmen Sie mit HIlfe des LAgrange_Ansatzes das Minimum der Kostenfunkion K under nder Neben bzw Nutzenbedingung U und der nichtnegativitätsbedingung x_ größergleich null.''

Dankeschön =)

21.01.2013, 18:38

Sumpfhuhn

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RE: Lagrange Ansatz (Minimum) Geometrische Interpretation
ich brauche dringend den entscheidenden Hinweis wo das Quadrat fehlt!
bitte helft mir,

lg

21.01.2013, 18:41

mYthos

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Gegen den Lagrange-Ansatz ist ja auch nichts zu sagen, er ist nicht schlecht. Die klassische Methode kann man zur Kontrolle benützen.

Dein Rechenfehler ist klar:

$\begin{eqnarray*} \frac 2 {\lambda} \cdot \frac 3 {\lambda} = \frac 6 {\lambda^2} \end{eqnarray*}$

oder nicht?
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Die Geradengleichung in einem Punkt (x0; y0) mit der Steigung m findet man mit der sogenannten Punkt-Richtungsform:

$\begin{eqnarray*} y - y_0 = m \cdot (x - x_0) \end{eqnarray*}$

Es kommt allerdings auf das Gleiche heraus, wenn du in der allgemeinen Form

$\begin{eqnarray*} y = mx + b \end{eqnarray*}$

die Koordinaten x0 und y0 des Punktes einsetzst und damit b berechnest.
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Tatsächlich sind hier die Koeffizienten der Variablen in der Tangentengleichung gleich mit jenen der Nebenbedingung, das ist bemerkenswert. Ich denke, das war doch auch die Frage.

mY+

21.01.2013, 19:53

Sumpfhuhn

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dann bin ich vielleicht einfach zu doof.. ich habe

$\begin{eqnarray*} \frac 2 {\lambda} \cdot \frac 3 {\lambda} - 24 = 0 \end{eqnarray*}$ multipliziert (*Lambda)
wo ist da der Rechenfehler... das ist doch 2*3=24/Lambda...

bin ich jetzt blöd? Hammer