Lagebez. von 2 Geraden, Formumwandlung

21.01.2013, 11:28

braindamage210886

Lagebez. von 2 Geraden, Formumwandlung

Hi Leute,

ich habe hier 3 Aufgaben die ich zur nächsten Klausur können bzw. lösen muss. 2 von 3 habe ich fertig bekommen (brauche aber Feedback bezgl. der Lösung oder des Lösungsweges) und die letzte Aufgabe bekomme ich nicht hin, bzw. ich weiss nicht wie ich anfangen soll.

Aufgabe 1.

Mit 3 Punkten die Koordinaten aufstellen:

P1 (1/1/1); P2 (5/5/-1); P3 (-1/0/1)

E: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5-1 \\ 5-1 \\ -1-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1-1 \\ 0-1 \\ 1-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=

: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 1b.

Parameterform der Ebene ausrechnen:

E: 3x + 5y -2z = 2

aufgelöst nach z:

z = -1 + 1,5x + 2,5y

x=r; y=s

Bei der Parameterform habe ich oben für r =1 und s = 0 eingesetzt
In der Mitte dann r=0 und s=1
Unten dann für r=1 und s=1

Ergebnis:

: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 2:

Lagebeziehung von 2 Geraden:

Geg.:

erste Gerade:

g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ -12 \\ -15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +
r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zweite Gerade:

h: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 \\ -11 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +
s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da die Richtungesvektoren verschieden sind, sind die beiden Geraden nicht parallel!

Jetzt wird berechnet ob es einen Schnittpunkt gibt oder die beiden Geraden windschief sind:

Gleichsetzen der Geraden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ -12 \\ -15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +
r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 \\ -11 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +
s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich jede Zeile als Gleichung aufgestellt und folgendes bekommen:

1. 1r - 2s = 1
2. 2r + 3s = 1
3. 5r + 1s = 20

bei 1. nach r aufgelöst:

r = 2s - 1

das in 2 eingesetzt:

2(2s + 1) + 3s = 1

s = - (1/7)

s in r eingesetzt:

r = (2 * (- 1/7 )) + 1 = (5/7)

r = (5/7)

r und s in die dritte Gleichung:

5 * (5/7) + (-1/7) = 20

(24/7) = 20

Unwahre Aussage also liegen die beiden Geraden winschief ?!

Aufgabe 3

Es gibt einen Punkt P1 (-7/3/1) der NICHT auf der Geraden g liegt:

g : $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +
s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich eine Geradengleichung aufstellen die auf/ nicht auf der Geraden g liegt.

Wie packe ich das an?

Mit freundlichen Grüßen, braindagame

21.01.2013, 12:48

braindamage210886

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Habe mich vertan:

Bei Aufgabe 1b kommt folgende Lösung aus

z = -1 + 1,5x + 2,5y

x=r; y=s

Bei der Parameterform habe ich oben für r =1 und s = 0 eingesetzt
In der Mitte dann r=0 und s=1
Unten dann für r=1 und s=1

Ergebnis:

: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.01.2013, 16:10

opi

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Von den vielen Aufgaben wird man ja fast erschlagen! geschockt

1) ist richtig, 1b) auch. Dezimalbrüche in der Parameterdarstellung erschweren das Weiterrechnen, das will aber eh niemand. Die Ebene von 1b) hat hoffentlich nichts mit der aus 1) zu tun.

2) Ja, die Geraden sind windschief. Ich habe aber mindestens einen Fehler im Gleichungssystem gefunden:

Zitat:

1. -1r - 2s = 1

Da fehlt das Vorzeichen.

Zitat:

bei 1. nach r aufgelöst: r = 2s - 1

Das stimmt auf keinen Fall

Viel weiter habe ich nicht nachgesehen, dazu müßte ich vorher die Latexdarstellung editieren, damit die Gleichungen in einer Zeile stehen.

3) Soll P1 noch überprüft werden? Ortsvektor und Geradengl. gleichsetzen.
Was bedeutet bei Dir "auf/nicht auf der Geraden liegen? Sollen die Geraden identisch sein? Das wäre zu einfach.

Wenn sich die Geraden z.B. nicht schneiden sollen, benötigst Du einen Punkt, der garantiert nicht auf der gegebenen Geraden liegt. Augenzwinkern

Und einen Richtungsvektor, der garantiert nicht in Richtung des gegebenen Richtungsvektor zeigt. Augenzwinkern

21.01.2013, 17:31

braindamage210886

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Hi,

die Aufgabenstellung musste korrigiert werden. Die zu erstellende Gerade soll auf dem Punkt P liegen und parallel zur ersten Gerade verlaufen. Also muss man den Stützvektor mit dem Punkt austauschen bzw. die Werte des Punktes für den Stützvektor nehmen und den Richtungsvektor beibehalten.

Und nein, die 1B hat nichts mit der 1 zutun.

Noch eine Frage zu der zweiten Aufgabe:

Sobald ich an den Punkt angekommen, dass eine unwahre Aussage auftritt - ist dann die Aufgabe vorbei? Oder muss/ kann ich noch weiter machen?

Falls eine wahre Aussage kommt. Wie mache ich weiter und was bedeutet das?

MFG

21.01.2013, 17:44

opi

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Zu 3): Ja, ist richtig. Korrekterweise nimmt man aber nicht den Punkt, sondern den Ortsvektor des Punktes.

2) Da Du Parallelität schon vorher ausgeschlossen hast:
Bei einer unwahren Aussage ist die Aufgabe vorbei und die Geraden sind windschief.
Eine wahre Aussage führt zu konkreten Werten für die Parameter r und s. Alle drei Gleichungen müssen wahr sein! Mit diesen Werten kann man den Schnittpunkt der Geraden ausrechnen.

21.01.2013, 17:47

braindamage210886

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Vielen Dank.

Wenn du mir jetzt noch sagst wie ich den Schnittpunkt ausrechne bin ich wunschlos glücklich und bereit für morgen smile

Wäre sehr hilfreich!

MFG

21.01.2013, 17:53

opi

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Wenn ich zum wunschlosen Glück beitragen kann, sage ich es gerne:

Du setzt r oder s in die entsprechende Geradengleichung ein und erhältst den Ortsvektor des Schnittpunktes.
Da die Rechnung einfach und schnell geht, empfehle ich, beide Parameter zu nutzen. Wenn dann hoffentlich derselbe Schnittpunkt herauskommt, hast Du gleich eine hübsche Probe gemacht.

21.01.2013, 17:54

braindamage210886

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Vielen Dank smile

Jetzt sollte das morgen klappen smile

21.01.2013, 17:56

opi

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Gern geschehen!
Ich wünsche Dir viel Spaß und Erfolg! Wink

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