Betragsungleichungen

21.01.2013, 12:36	ViennaCalling	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsungleichungen Hallo. Also ich habe folgende Beispiele zur Prüfungsvorbereitung gerechnet. Und wollte fragen ob das so auch stimmt, vor allem bin ich mir bei den Lösungemengen unsicher. Der Rest sollte passen. \|2x-1\|>3 1. F. x>=1/2 x>=2 $\begin{eqnarray} L1= \left\{ x\|x>=2\right\} \end{eqnarray}$ 2.F x<1/2 x<-1 $\begin{eqnarray} L2= \left\{ x\|x<-1\right\} \end{eqnarray}$ Lges =L1 $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ L2 =leere Menge \|2x+6\|>=5 1.F. x>=-3 ; x>=-1/2 $\begin{eqnarray} L1= \left\{ x\|x>=-1/2\right\} \end{eqnarray}$ 2.F. x<=-3; x>=-11/2 $\begin{eqnarray} L2= \left\{ x\|-11/2<=x<=-3\right\} \end{eqnarray}$ Lges =L1 $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ L2 =leere Menge ???????? 2x/\|x-3\|<3 1.F. x>3 ; x>9 $\begin{eqnarray} L1= \left\{ x\|x>9\right\} \end{eqnarray}$ 2.F. x<3; x<9/5 $\begin{eqnarray} L2= \left\{ x\|x<9/5\right\} \end{eqnarray}$ Lges =L1 $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ L2 =leere Menge ?? 6x/\|x-2\|<1 1.F. x>2 ; x>-2/5 $\begin{eqnarray} L1= \left\{ x\|x>2\right\} \end{eqnarray}$ 2.F. x<2; x>2/7 $\begin{eqnarray} L2= \left\{ x\|2/7<x<2\right\} \end{eqnarray}$ Lges =L1 $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ L2 = L2 oder leere Menge?? Und ich wollte fragen ob es einen unterschied macht ob in der Angabe <oder > steht. Meine mich aus der Schule noch daran zu erinnern das < und heißt und> oder und das das die Lösungsmenge verändert? Es wäre wirklich nett wenn mir jemand helfen könnte. Habe keine Lösungen dazu und falch einüben ist nicht so gut. Danke!!
21.01.2013, 14:58	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsungleichungen Bei der ersten Aufgabe fallen mir zwei Dinge auf: Woher kommt denn auf einmal das "=" in der Lösungsmenge, die Probe für x=2 erfüllt die Ungleichung auf jeden Fall nicht. Zum zweiten: Wieso schneidest du die beiden Lösungsmengen?
21.01.2013, 20:32	ViennaCalling	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsungleichungen Naja ich dachte Beim ersten Fall geht man immer von 2x-1>=0 aus und das die Folge daraus eben 2x-1>=3 ist. Also ist das falsch!? Daraus wird 2x-1>3 und in Folge dessen x>2 Ich dachte man soll aus den beiden Lösungsmengen eine Gesamtlösungsmenge bilden. Und das eben auf diese Art? Mit der Lösungsmenge bilden habe ich aber Schwierigkeiten. Deshalb habe ich ja die Frage online gestellt.
22.01.2013, 16:31	ViennaCalling	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir denn niemand mit den Gesamtlösungsmengen helfen? Oder die Frage beantworten ob es einen unterschied macht ob in der Angabe <oder > steht. Meine mich aus der Schule noch daran zu erinnern das < und heißt und> oder und das dann die Lösungsmenge ja jeweils eine andere wäre? Bin komplett überfordert das kommt sicher zur Prüfung und ich kenne mich da gar nicht aus.
22.01.2013, 22:39	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
gehen wir doch einmal die erste Aufgabe durch: Wir haben die Ungleichung: $\begin{eqnarray} \|2x-1\|>3 \end{eqnarray}$ Nun betrachten wir den ersten Fall: $\begin{eqnarray} 2x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ soweit richtig. Die Ungleichung für diesen Fall lautet also: $\begin{eqnarray} 2x-1>3 \Rightarrow x >2 \end{eqnarray}$ Nun muss also gelten: $\begin{eqnarray} x>2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ (Hier ist die Schnittmenge gefragt, gekennzeichnet duch das "und".) 2. Fall: $\begin{eqnarray} 2x-1<0 \Rightarrow x < \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Für diesen Fall ist $\begin{eqnarray} \|2x-1\|=-(2x-1) \end{eqnarray}$ , also lautet die Ungleichung $\begin{eqnarray} -2x+1>3 \Rightarrow x<-1 \end{eqnarray}$ In diesem Fall muss also auch gelten: $\begin{eqnarray} x < \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x<-1 \end{eqnarray}$ Die beiden Fälle jedoch werden mit einem "oder" (der Mengenvereinigung) verknüpft, so ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} \left[(x>2) \wedge \left( x \geq \frac{1}{2} \right) \right] \vee \left[ \left(x<-1\right) \wedge \left(x < \frac{1}{2} \right) \right] \end{eqnarray}$ Was äquivalent ist zu: $\begin{eqnarray} \left[ (2, \infty) \cap \left[\frac{1}{2}, \infty \right) \right] \cup \left[ \left(- \infty, \frac{1}{2}\right) \cap \left(-\infty, -1 \right) \right] \end{eqnarray}$

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