Gebietsintegral sin(x/y)

21.01.2013, 15:42

Phyx

Gebietsintegral sin(x/y)

Folgendes Integral möchte ich lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \!(\int_x^1 \! y*\sin(\frac{x}{y} ) \, dy) dx \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, dass ich nicht weiss wie ich das mache, die Aufleitung macht mir Probleme. Kann ich die Grenzen vielleicht irgendwie tauschen, damit es geht?
Ich sehe es nicht so direkt...

Vielen Dank an alle Helfer!

21.01.2013, 16:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Phyx
Kann ich die Grenzen vielleicht irgendwie tauschen

Du kannst die Integrationsreihenfolge vertauschen, dh. dann ist die innere die einfachere x-Integration.

Du musst dabei aber beachten, dass du hier kein Rechteck, sondern ein spezielles Dreieck als Integrationsgebiet hast. Daher gilt mit temporärer Verwendung einer passenden Indikatorfunktion

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \int\limits_x^1 y\sin\left(\frac{x}{y}\right) ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 1_{\{x\leq y\}}\cdot y\sin\left(\frac{x}{y}\right) ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 1_{\{x\leq y\}}\cdot y\sin\left(\frac{x}{y}\right) ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_0^1 \int\limits_0^y y\sin\left(\frac{x}{y}\right) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

21.01.2013, 17:06

Phyx

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry warum kannst du die Grenzen einfach vertauschen wenn du $\begin{eqnarray*} 1_{ (x\leq y)} \end{eqnarray*}$ als öhm Indikatorfunktion hinschreibst?!

21.01.2013, 17:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht machst du dir mal eine Skizze des ursprünglichen Integrationsgebietes, dann musst du auch nicht so viel Banales fragen.

Also gut: Wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Teilmenge der Ebene ist, dann gibt es $\begin{eqnarray*} a<b,c<d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M\subseteq [a,b]\times [c,d] \end{eqnarray*}$ , und es gilt

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_M f(x,y) ~ \dd y ~ \dd x = \iint\limits_{[a,b]\times [c,d]} 1_M(x,y)\cdot f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_c^d \int\limits_a^b 1_M(x,y)\cdot f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_a^b \int\limits_c^d 1_M(x,y)\cdot f(x,y) ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

d.h., man macht einfach die Funktion außerhalb von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu Null, dann kann man statt über $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auch über das größere Rechteck $\begin{eqnarray*} [a,b]\times [c,d] \end{eqnarray*}$ integrieren, welches sich dann geeignet iterieren lässt (Fubini etc.).

Neue Frage »

Antworten »

Gebietsintegral sin(x/y)

Verwandte Themen