Ableitung Funktion mit sinus, cosinus, exponential

21.01.2013, 18:35

steveo123

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Ableitung Funktion mit sinus, cosinus, exponential

Meine Frage:
Es sei f : $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \Rightarrow \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_{1},x_{2})= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e^{x2} \cos(2x_{1})\cos(x_{2})\\ x_{1}e^{x2} \\ \sin(2x_{1} )+\cos(x_{2} ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Ableitung $\begin{eqnarray*} f^{'} (x_{1}, x_{2}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Sollte man als erstes die Gleichungen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufstellen?

22.01.2013, 08:56

klarsoweit

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RE: Ableitung Funktion mit sinus, cosinus, exponential

Zitat:

Original von steveo123
Sollte man als erstes die Gleichungen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufstellen?

Ich weiß jetzt nicht, was du damit meinst. Wie dem auch sein, du sollst im Grunde die Jacobi-Matrix aufstellen.

22.01.2013, 20:25

steveo123

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RE: Ableitung Funktion mit sinus, cosinus, exponential
Meinte das so:

$\begin{eqnarray*} y_{1}= e^{x_{2}}*cos(2x_{1})*cos(x_{1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{2}= x_{1}*e^{x_{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{3}= sin(2x_{1})+cos(x_{2}) \end{eqnarray*}$

23.01.2013, 00:01

steveo123

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RE: Ableitung Funktion mit sinus, cosinus, exponential
Sehe gerade einen Fehler...

$\begin{eqnarray*} y_{1}= e^{x_{2}}*cos(2x_{1})*cos(x_{1}) \end{eqnarray*}$
sollte so sein...

$\begin{eqnarray*} y_{1}= e^{x_{2}}*cos(2x_{1})*cos(x_{2}) \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Stimmt das soweit?
$\begin{eqnarray*} y_{1} =e^{x_{2}} *cos(2x_{1})*cos(x_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}}=cos(2x_{1})*(e^{x_{2}}*cos(x_{2})+e^{x_{2}}(-sin(x_{2})) \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} \end{eqnarray*}$ könnte ich Hilfe brauchen..

Also wie leitet man den $\begin{eqnarray*} cos(2x_{1}) \end{eqnarray*}$ ab?

23.01.2013, 08:35

klarsoweit

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RE: Ableitung Funktion mit sinus, cosinus, exponential

Zitat:

Original von steveo123
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}}=cos(2x_{1})*(e^{x_{2}}*cos(x_{2})+e^{x_{2}}(-sin(x_{2})) \end{eqnarray*}$

Machen wir noch eine Klammer dran, dann stimmt's: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}} = cos(2x_1) \cdot \left(e^{x_2} \cdot cos(x_2) + e^{x_2} \cdot (-sin(x_{2})) \right) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von steveo123
Also wie leitet man den $\begin{eqnarray*} cos(2x_{1}) \end{eqnarray*}$ ab?

Ganz einfach mit Kettenregel. smile

smile

23.01.2013, 08:47

niksc

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Guten Morgen,

da $\begin{eqnarray*} x-{1} \end{eqnarray*}$ nur in einem Teil vorkommt, können wir davon ausgehen, dass die anderen beiden als Konstanten angesehen werden.

Demzufolge muss nur der Ausdruck $\begin{eqnarray*} cos(2x_{1}) \end{eqnarray*}$ abgeleitet werden und das geht nach der Kettenregel, die besagt:
Die Ableitung ist das Produkt aus der innen und aus der äußeren Funktion.

Die äußere Funktion sei u.
Die innere Funktion sei v.

$\begin{eqnarray*} u=cos(v)<br /> v=2x_{1} \end{eqnarray*}$

Nun musst Du nur beides Ableiten und aus den Ableitungen das Produkt bilden.
Vergiss später nicht die anderen beiden Teile (die als Konstanten angesehen werden).

Zum Vergleich:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{1} }{\partial x_{1}} = -2e^{x_{2}} * sin(2x_{1})*cos(x_{2}) \end{eqnarray*}$

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23.01.2013, 08:49

niksc

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$\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$
soll natürlich
$\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$
heißen...

23.01.2013, 10:01

klarsoweit

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@niksc: ich weiß jetzt nicht, warum du zu meinem Beitrag noch einen im wesentlichen inhaltsgleichen Beitrag dranhängst und obendrein das Endergebnis lieferst. unglücklich

unglücklich

Beachte bitte auch unsere Board-Regeln. Lehrer

Lehrer

23.01.2013, 10:08

niksc

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Das scheint wohl daran zu liegen, dass ich auf "Antworten" geklickt habe, als es noch keine Antwort gab.

Dass das Ergebnis nicht erwünscht ist lt. Forenregeln wusste ich ehrlich gesagt nicht.
Ich find es auch immer nett, wenn man ein Ergebnis zum kontrollieren hat.
Aber demnach werde ich mich schleunigst damit auseinandersetzen smile

smile

P.S.: Danke für den Hinweis

23.01.2013, 15:26

steveo123

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Und warum schreibt man das Ergebnis nicht dann so?

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{1} }{\partial x_{1}} = e^{x_{2}} * -sin(2x_{1})*2*cos(x_{2}) \end{eqnarray*}$

23.01.2013, 15:29

niksc

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Weil da im Grunde genommen folgendes steht

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} = e^{x_{2}} * (-1) * sin(2x_{1}) * 2 * cos(x_{2}) \end{eqnarray*}$

und da
$\begin{eqnarray*} (-1) * 2 = -2 \end{eqnarray*}$

ist, kann man es so zusammenfassen...

Hoffentlich war das nicht zuviel verraten geschockt

geschockt

23.01.2013, 15:39

steveo123

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Ich denke das war so in Ordnung smile

smile

Danke!

Dann mach ich mich mal an $\begin{eqnarray*} y_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{3} \end{eqnarray*}$ ...

23.01.2013, 17:05

steveo123

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$\begin{eqnarray*} y_{2}= x_{1}*e^{x_{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{2} }{\partial x_{1}} = e^{x_{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{2} }{\partial x_{2}} = x_{1}* e^{x_{2}} \end{eqnarray*}$

Für
$\begin{eqnarray*} y_{3}= sin(2x_{1})+cos(x_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{3} }{\partial x_{1}} = 2*cos(2x_{1})+cos(x_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{3} }{\partial x_{2}} = -sin(x_{2})*sin(2x_{1}) \end{eqnarray*}$

So?

23.01.2013, 17:26

niksc

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Ich finde 2 Fehler.

Guck Dir nochmal

$\begin{eqnarray*} y_{3} = sin(2x_{1}) + cos(x_{2}) \end{eqnarray*}$

an. Die Ableitungen dazu sind nicht korrekt (s. Summenregel).

23.01.2013, 18:47

steveo123

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Ah ok, dann so:

$\begin{eqnarray*} y_{3}= sin(2x_{1})+cos(x_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{3} }{\partial x_{1}} = 2*cos(2x_{1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{3} }{\partial x_{2}} = -sin(x_{2}) \end{eqnarray*}$

Oder?

23.01.2013, 19:21

niksc

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Das sieht für mich gut aus.

P.S.:
Wenn Du Deine Ergebnisse selbständig vergleichen möchtest, empfehle ich Dir
http://www.wolframalpha.com/

Angenommen Du möchtest die Funktion

$\begin{eqnarray*} y_{3} = sin(2x_{1}) + cos(2x_{2}) \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ ableiten, gibst Du folgendes bei wolfram alpha ein

code:
1:	derivate sin(2x) + cos(y) for x

Dabei musst Du bedenken, dass Du Deine Variablen umbenennst.

23.01.2013, 19:48

steveo123

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Sehr gut, danke!

Wir müssen aber doch noch $\begin{eqnarray*} f^{'} (x_{1}, x_{2}) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Wie macht man das am Besten?
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{1} }{\partial x_{1}} = -2e^{x_{2}} * sin(2x_{1})*cos(x_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}}=cos(2x_{1})*(e^{x_{2}}*cos(x_{2})+e^{x_{2}}(-sin(x_{2}))) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}}=e^{x_{2}} * cos(2x_{1})*[cos(x_{2})-sin(x_{2})] \end{eqnarray*}$

23.01.2013, 20:05

niksc

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Ich glaube das soll die gemischte Ableitung sein, kann das wohl?
Deine Variablen haben generell eine etwas verwirrende Deklarierung erfahren...

Wenn hier die gemischte Ableitung gesucht ist, musst Du nur die erste Ableitung von $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ ableiten, oder die erste Ableitung von $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir folgendes an

$\begin{eqnarray*} \frac{\ \partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$

sei die erste Ableitung der Funktion f nach x
und

$\begin{eqnarray*} \frac{\ \partial f}{\partial y} \end{eqnarray*}$

die erste Ableitung der Funktion f nach y.

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{\ \partial f^{2}}{\partial y \partial x} \end{eqnarray*}$

die gemischte Ableitung.

Du leitest also erst die Funktion nach x ab. Die Ableitung leitest Du dann nach y ab.
Um das Ergebnis zu kontrollieren könntest Du probehalber die Funktion, die Du nach y abgeleitet hast, nach x ableiten. Es muss nämlich das gleiche Ergebnis rauskommen.

War das so verständlich?

23.01.2013, 20:09

steveo123

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Ja ist verständlich so smile

smile

Die Aufgabe steht leider nur so da:

Es sei f : $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \Rightarrow \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_{1},x_{2})= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e^{x2} \cos(2x_{1})\cos(x_{2})\\ x_{1}e^{x2} \\ \sin(2x_{1} )+\cos(x_{2} ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Ableitung $\begin{eqnarray*} f^{'} (x_{1}, x_{2}) \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht wie man da die Lösung genau angeben soll.

23.01.2013, 21:04

niksc

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Also, für mich sieht es so aus...
Da ja

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_{1}, x_{2}) \end{eqnarray*}$

und diese Funktion durch die Matrix der 3 Funktion $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{3} \end{eqnarray*}$ definiert ist, heißt

$\begin{eqnarray*} f'(x_{1}, x_{2}) \end{eqnarray*}$

für mich, dass $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{3} \end{eqnarray*}$ abgeleitet werden sollen... aber wonach?!

Vielleicht weiß jemand anders Rat?

Im Grunde genommen steht da ja

"Berechnen Sie die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ "

24.01.2013, 08:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von steveo123
Ich weiß nicht wie man da die Lösung genau angeben soll.

Und ich weiß nicht, warum man meine Beiträge nicht liest. Also nochmal: du sollst die Jacobi-Matrix aufstellen.
Siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Jacobi-Matrix

25.01.2013, 19:14

steveo123

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So?

$\begin{eqnarray*} J_{f'}(x_{1},x_{1})= \begin{pmatrix} -2e^{x_{2}} * sin(2x_{1})*cos(x_{2})& e^{x_{2}}*cos(2x_{1})*(cos(x_{2})-sin(x_{2})) \\ e^{x_{2}}&x_{1}* e^{x_{2}}\\2*cos(2x_{1})& -sin(x_{2})\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.02.2013, 17:10

steveo123

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Hat jemand eine Meinung dazu????

04.02.2013, 10:22

klarsoweit

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Das paßt so. smile

smile

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