Punkt mit gegebenem Abstand zu einer Ebene bestimmen

21.01.2013, 18:55	Elvandy100	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt mit gegebenem Abstand zu einer Ebene bestimmen Hi, habe folgende Aufgabe berechnet. Ich würde gerne wissen ob ich das richtig gemacht habe und ob es noch andere Möglichkeit gibt diese Aufgabe zu lösen da ich was von einer 2ten Ebene gehört habe die man sich mit dem gegebenen Abstand bauen kann was sich an sich logisch anhört den aus dieser neuen Ebene kann ich mir ja einen Punkt "aussuchen". Aufgabe: Gegeben sei die Ebene $\begin{eqnarray} E: 3x - 6y + 2z +14 = 0 \end{eqnarray}$ .Geben Sie die Koordinaten eines Punktes an, welcher von E den Abstand 4 besitzt. Meine Lösung: 1. Ich habe mir einen beliebigen Pubkt auf der Ebene genommen z.b $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c}<br /> 3\\<br /> 4\\<br /> 0,5\\<br /> \end{array}\right) \end{eqnarray}$ 2. Danach habe ich die Formel $\begin{eqnarray} P= s + d n^0 \end{eqnarray}$ benutzt. P ist ja dann $\begin{eqnarray} P= s + d * \frac{1}{\|n\|}* n \end{eqnarray}$ Wobei s ein beliebiger Pubkt auf der Ebene ist und d der Abstand 4 ist. P = $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c}<br /> 3\\<br /> 4\\<br /> 0,5\\<br /> \end{array}\right) + 4 * \frac{1}{7} * \left(\begin{array}{c}<br /> 3\\<br /> -6\\<br /> 2\\<br /> \end{array}\right) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c}<br /> \frac{33}{7}\\<br /> \frac{4}{7}\\<br /> \frac{23}{14}\\<br /> \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Und ein Punt mit dem Abstand 4 zu der Ebene lautet $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c}<br /> \frac{33}{7}\\<br /> \frac{4}{7}\\<br /> \frac{23}{14}\\<br /> \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ mich stört es das es so eine krumme Zahl ist.
21.01.2013, 19:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein etwas kürzerer Weg: Bringe die Ebene in die HNF (Hessesche Normalform), das wäre hier $\begin{eqnarray} E:\; \frac{3x-6y+2z}{7}+2 = 0 \end{eqnarray}$ . Dann gibt $\begin{eqnarray} d(x,y,z) = \frac{3x-6y+2z}{7}+2 \end{eqnarray}$ den (vorzeichenbehafteten) Abstand eines beliebigen Punktes $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ des Raumes von der Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ an. Nun, wir suchen ja nur irgendeinen Punkt mit $\begin{eqnarray} \|d(x,y,z)\|=4 \end{eqnarray}$ , nehmen z.B. einen auf der z-Achse. Dann suchen wir ein $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d(0,0,z)=4 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \frac{2z}{7}+2 = 4 \end{eqnarray}$ , ergibt $\begin{eqnarray} z = 7 \end{eqnarray}$ . Damit erfüllr auch der Punkt $\begin{eqnarray} (0,0,7) \end{eqnarray}$ die Anforderung.
22.01.2013, 15:05	Elvandy100	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine antwort ! Durch deinen Beitrag war sogar meine erste Überlegung richtig (war sogar die gleiche) aber die war so leicht da dachte ich das kann nicht stimmen und habe eine probe gemacht und das war richtig ! Dachte mir ja das $\begin{eqnarray} \frac{3x-6y+2z+14}{7} = 4 \end{eqnarray}$ Habe mir für x und y Werte überlegt und z ausgerechnet so wie du. Dankeeeee

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