Parameterfunktionenschar

15.02.2007, 18:40

Pi-tsch

Parameterfunktionenschar

Hallo,

sitze gerade an einer Parameterfunktionenschar: $\begin{eqnarray*} f_a (x) = a²x - \ln x \end{eqnarray*}$ mit a >= 1 und x > 0.

1. Kann mir die Funktion(en) mal plottern für a=1, a=2 und a=3 ? Habe das nicht hinbekommen.

2. Ich scheitere schon an den Nullstellen: $\begin{eqnarray*} 0 = a²x - \ln x \end{eqnarray*}$

Habe ein wenig rumgespielt... aber weiß nicht wie ich an das x kommen soll. Nach ein paar Umformereien folgt: $\begin{eqnarray*} x = e^{a²x} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Danke für Eure Hilfe

15.02.2007, 18:53

piloan

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hi

du kannst die gleichung mal umformen zu

$\begin{eqnarray*} e^{a^2x}-x=0 \end{eqnarray*}$ und dann siehst du das die funktion keine nullstellen hat

$\begin{eqnarray*} e^{a^2x}=x \end{eqnarray*}$ beide funktionen haben nie gleiche funktionswerte..

x ist eine gerade und e^x kennst du ja auch smile

15.02.2007, 19:00

Pi-tsch

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Ach stimmt, da x>0 kann die Funktion garkeine Nullstellen haben, da f(x) = x positiv ist für x>0.

Danke, super! Aber wie kann ich die Funktion hier im Board zeichnen lassen? Konkret: Wie gebe ich lnx in den Plotter ein?

15.02.2007, 22:22

piloan

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hi hier einmal fuer a =1

und a=2

15.02.2007, 22:41

Frooke

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Sowas geht nur näherungsweise oder mit Lambert W (oder vllt. kannst Du mit Abschätzen was machen...) :

$\begin{eqnarray*} f_a(x):=a^2x-\ln x \end{eqnarray*}$

Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} -a^2=\frac{1}{x}\ln\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

ist dasselbe wie

$\begin{eqnarray*} -a^2=\exp\left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)\ln\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \mathrm W\left(-a^2\right)=\ln\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\mathrm W\left(-a^2\right)}{-a^2} \end{eqnarray*}$

EDIT: Natürlich muss dieser Wert auch definiert sein... Also anders gesagt:

$\begin{eqnarray*} -a^2\in\left(-\frac{1}{\mathrm e},\infty\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2\in\left(-\infty,\frac{1}{\mathrm e}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \in\left(-\frac{1}{\sqrt{\mathrm e}},\frac{1}{\sqrt{\mathrm e}}\right) \end{eqnarray*}$

Nur für solche a hat f eine Nullstelle.

16.02.2007, 13:30

Frooke

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Warum sagt mir das denn niemand? Muss natürlich heissen

$\begin{eqnarray*} -a^2\in\left[-\frac{1}{\mathrm e},\infty\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2\in\left(-\infty,\frac{1}{\mathrm e}\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \in\left[-\frac{1}{\sqrt{\mathrm e}},\frac{1}{\sqrt{\mathrm e}}\right] \end{eqnarray*}$

Denn im Grenzfall ist N einfach eine Nullstelle mit f'(N)=0...

16.02.2007, 15:21

Lazarus

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Das ist doch nicht das Problem.

Zitat:

sitze gerade an einer Parameterfunktionenschar: $\begin{eqnarray*} f_a (x) = a^2\; x - \ln x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \geqslant 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ .

Die Nullstellen zu bestimmen bedeutet
$\begin{eqnarray*} 0&=& a^2\; x - \ln x\\\ln(x)&=&a^2\,x \end{eqnarray*}$
Kann man auch interpretieren als Schnittpunkt zweier Funktionen.
Daraus ergeben sich für die entsprechenden $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Schnittpunkte:

Nämlich keine!

17.02.2007, 13:08

Frooke

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Ach verflucht, ich habe a>=1 nicht gesehen, da ist die Aufgabe ja gar nicht lustig... unglücklich

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