Invertierbarkeit

21.01.2013, 20:23	Sanguinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit Sei $\begin{eqnarray} A\in M_n(\mathbb R ) \end{eqnarray}$ eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie, dass es ein $\begin{eqnarray} \alpha > 0 \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} \lambda I_n - A \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \lambda\in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\lambda\|<\alpha \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Ansatz: Leider keiner
21.01.2013, 20:36	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nutze aus, dass das charakteristische Polynom als Polynom stetig ist. Daher findet man um eine Nichtnullstelle eine ganze Umgebung in der das Polynom nicht verschwindet. Oder ohne zu sehr in die Analysis abzurutschen: Nutze aus, dass das Polynom nur endlich viele Nullstellen hat. Daher kannst du dir die betragsmäßig kleinste auswählen...
22.01.2013, 08:35	Sanguinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm...wie kommst du überhaupt darauf, dass das Polynome sind?
22.01.2013, 08:45	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Invertierbarkeit Die Matrix $\begin{eqnarray} \lambda I_n - A \end{eqnarray}$ ist natürlich kein Polynom in $\begin{align} \lambda \end{align}$ . Die Determinante davon allerdings schon, das sogenannte "charakteristische Polynom". Es ist ein Polynom vom Grad n.

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