komplexe Lösungsmenge 4

21.01.2013, 22:05

StevenSpielburg

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komplexe Lösungsmenge 4

Ich habe nochmal eine kleine Frage. Habe hier drei Aufgaben von der
gleichen Art, bekomme da auch das richtige Ergebnis raus, allerdings habe ich bei 2 Aufgaben nicht den richtigen Anfangswinkel. Woran liegt das?
Hier die Aufgaben:

(1) $\begin{eqnarray*} z^{3}=125 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} z^{4}=-16 \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} z^{3}=32(1+i)^{2} \end{eqnarray*}$

Ich bin immer so vorgegangen:

Beim ersten die dritte Wurzel gezogen, =5. Somit ist die Länge 5.
Danach habe ich 360°/3 geteilt = 120° = 2Pi/3
Kommt dann als Ergebnis: $\begin{eqnarray*} 5e^{ik\frac{2\pi }{3} } \end{eqnarray*}$ raus

Bei den anderen beiden habe ich es ähnlich gemacht...jedoch komme ich da nicht auf den richtigen Anfangswinkel. Ist mein Vorgehen richtig? Oder muss ich noch etwas beachten? Kann ich das so machen mit der Bestimmung mit der Länge?
und mit der Bestimmung des Winkels?

Gruß

21.01.2013, 22:23

Dopap

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eine komplexe Zahl a+bi hat den Betrag $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$
für den Winkel gilt $\begin{eqnarray*} \tan (\varphi)=\frac ba \end{eqnarray*}$

21.01.2013, 22:32

original

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RE: komplexe Lösungsmenge 4

Zitat:

Original von StevenSpielburg

(1) $\begin{eqnarray*} z^{3}=125 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} z^{4}=-16 \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} z^{3}=32(1+i)^{2} \end{eqnarray*}$

Bei den anderen beiden habe ich es ähnlich gemacht...jedoch komme ich da nicht auf den richtigen Anfangswinkel.

verwirrt

.. welche "Länge" - also welchen Betrag hast du denn bei (2) und bei (3)?

und um etwas über die "Startwinkel" herauszubekommen, könntest du zB
den Punkt (-16 / 0) .. bzw den Punkt (0/ 2) eintragen und dir den von der
positiv reellen Achse aus gemessenen Winkel anschauen..
usw..

.

21.01.2013, 23:09

StevenSpielburg

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bei (2)

$\begin{eqnarray*} |-\sqrt[4]{16} | \end{eqnarray*}$

bei (3)

$\begin{eqnarray*} |\sqrt[3]{64} | \end{eqnarray*}$

kann man das so berechnen? oder muss ich anders vorgehen?

22.01.2013, 10:17

StevenSpielburg

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könnte vielleicht nochmal jemand kurz über die aufgabe/n drüber gucken?

22.01.2013, 10:37

Steffen Bühler

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Was ist denn das Problem mit dem Startwinkel? Was hast Du bei 2 und 3 genau raus?

Viele Grüße
Steffen

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22.01.2013, 10:44

StevenSpielburg

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bei (2)

Pi/2

bei (3)

2Pi/3

22.01.2013, 10:47

Steffen Bühler

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Bleiben wir erstmal bei 2. Wieso 90°? Der Winkel von z^4 ist doch 180°! Und den mußt Du doch vierteln!

Viele Grüße
Steffen

22.01.2013, 10:52

StevenSpielburg

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wieso 180°? ich bin von 360° ausgegangen?

22.01.2013, 10:56

Steffen Bühler

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Und das ist das Mißverständnis. Wenn Du die n-te Wurzel einer komplexe Zahl ziehst, ziehst Du die n-te Wurzel ihres Betrags und teilst ihren Winkel durch n. Das ist dann die Hauptlösung. Die anderen Lösungen findest Du, indem Du den Winkel jeweils um 360°/n weiterdrehst.

Viele Grüße
Steffen

22.01.2013, 11:03

StevenSpielburg

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okay, heißt also für meine 3 lösungen...

bei (2)

$\begin{eqnarray*} 2e^{\frac{\pi }{4}+k\frac{2\pi }{4}i } \end{eqnarray*}$

bei (1)

$\begin{eqnarray*} 5e^{\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}i } \end{eqnarray*}$

bei (3)

$\begin{eqnarray*} 4e^{\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}i } \end{eqnarray*}$

würde ich jetzt aus deinem Kommentar schließen...

22.01.2013, 11:08

Steffen Bühler

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2 ist jetzt in Ordnung, bis auf den Umstand, daß der Exponent rein imaginär ist, auch zu den pi/4 muß ein i.

Bei 1 und 3 müßten wir uns erst mal unterhalten, was denn der Winkel von 125 und von (1+i)² ist.

Viele Grüße
Steffen

22.01.2013, 11:09

StevenSpielburg

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ah okay jetzt weiß ich wie du es meinst und wie es geht....

zuerst den winkel an sich bestimmen, bzw. wo der "Vektor" im
Koordinatensystem liegt..

bei (1) auf pos. reeller Achse...somit 0/3 = 0

bei (2) auf neg. reeller Achse...somit 180/4 = Pi/4

bei (3) auf pos. imaginärer Achse....somit 90/3 = Pi/6

Jetzt nochmal kurz zum Betrag bilden...wie schreibe ich denn
zum Beispiel bei (2) und (3) genau auf, wie ich den Betrag bilde.

22.01.2013, 11:17

Steffen Bühler

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Sehr schön, die Winkel passen jetzt.

Der Betrag von -16 ist 16, ich glaube, das ist klar, oder?

Der Betrag von 1+i ist wie immer $\begin{eqnarray*} r = \sqrt {1^2+1^2}= \sqrt2 \end{eqnarray*}$ . Auch klar?

Und dann eben $\begin{eqnarray*} 32 \cdot r^2=64 \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

22.01.2013, 11:39

StevenSpielburg

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okay wieder mal vielen dank!

22.01.2013, 19:36

mara1015

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kann mir jemand den schritt erklären wie man hier auf

bei (2)

$\begin{eqnarray*} 2e^{\frac{\pi }{4}+k\frac{2\pi }{4}i } \end{eqnarray*}$

kommt?
Ich verstehe nicht was im exponent steht!
wie kommt man auf :
$\begin{eqnarray*} ^{\frac{\pi }{4}+k\frac{2\pi }{4}i } \end{eqnarray*}$

22.01.2013, 20:12

mara1015

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kann mir jemand helfen? es wäre wirklich wichtig

23.01.2013, 08:26

Steffen Bühler

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Wie ich ja schon geschrieben habe, stimmt diese Lösung nicht, es muß

$\begin{eqnarray*} 2e^{i \cdot (\frac{\pi }{4}+k\frac{2\pi }{4}) } \end{eqnarray*}$

heißen.

Viele Grüße
Steffen

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