Verschoben! Beweis in einem Körper |
| 21.01.2013, 23:39 | Sy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis in einem Körper Hi, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: Zeige, dass in Körper (K,+,*) für a,bK folgendes gilt: a*(-b)=-(a*b) Körper haben wir mit Eigenschaften definiert: - Kommutativität gilt - Nullelement ist vorhanden - Distributivgesetz gilt Meine Ideen: evtl ein Äquvivalenzbeweis, aber jeder Anfang fehlt mir. Ich wäre dankbar für Ideen |
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| 22.01.2013, 01:35 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein Körper hat übrigens noch ein paar mehr Axiome zu erfüllen, siehe hier. Ist Äquivalenzbeweis deine Standardidee (so wie hier)? Da solltest du dir mehr einfallen lassen. |
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| 22.01.2013, 21:46 | Sy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe mir die restlichen Eigenschaften durchgelesen. Ich komme aber trotzdem nicht weiter als so: a*(-b)=-(a*b) <-->a*((-b)*a) = -(a*b)*a (durch *mit a verknüpft)(Assoziativgesetz) oder darf ich dass schon nicht? kann mir bitte jemand helfen? |
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| 23.01.2013, 08:05 | Eipi-1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei dieser Art von Beweisen nutzt man aus, dass inverse Elemente im Körper eindeutig bestimmt sind. Ferner ist -(a*b) definiert als jenes Element, für das gilt: (a*b)+ (-(a*b)) = 0. Wenn du also zeigen kannst, das auch (a*b)+ a*(-b) = 0 gilt, folgt daraus mit der Eindeutigkeit der Inversen die Behauptung. Dann mal los 
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| 23.01.2013, 09:22 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist aber schon sehr mißverständlich formuliert, denn zum einem geht es da um additive Inverse, während man bei Inversen ohne Zusatz (speziell in einem Körper!) immer von multplikativen Inversen ausgeht, zum anderem braucht man hier nur einen Ring um das zeigen können... Ferner ignorierst du mit deinen vielen überflüssigen Klammern die alte Regel "Punktrechnung geht vor Strichrechnung", aber das nur nebenbei... 
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| 23.01.2013, 10:11 | Eipi-1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann ist ja gut, dass du das nochmal erwähnt hast. Ich verstehe aber deinen Zusatz mit dem Ring nicht so ganz. Ich habe soetwas mal in einem Beweis erwähnt. Kommentar vom Übungsleiter dazu: "Schön, aber danach war nicht gefragt". Den Zusatz im Körper habe ich nur dazugeschrieben, weil ich nicht weiß, ob es algebraische Strukturen mit Inversen gibt, in denen die Eindeutigkeit nicht gilt. Mit den zusätzlichen Klammern wollte ich verdeutlichen, dass dies jeweils die Elemente im Körper sind, um die invers zueinander sein sollen. Das kann zum klarmachen, was da passiert helfen. Ich finde übrigens deinen Ton ein wenig unfreundlich. Das nur nebenbei. |
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| 23.01.2013, 10:37 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich meinte damit, dass nur "Zutaten" benötigt werden, welche man auch bereits in einem gewöhnlichen Ring (muss nicht einmal kommutativ oder mit Einselement sein!) zur Verfügung hat... Eigentlich sollte das die Aufgabe leichter machen, da man sich so auf weniger Dinge konzentrieren muss, insbesondere spielen multiplikative Inverse hier überhaupt keine Rolle...
Ok, wenn diese Klammernsetzung aus "didaktischen Gründen" erfolgt ist, dann sorry, das habe ich dann einfach nicht durchschaut... |
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| 23.01.2013, 10:58 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Sy Denk mal nicht ans Assoziativgesetz (braucht man hier nicht), sondern ans Distributivgesetz. |
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| 23.01.2013, 14:10 | Sy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hey danke für die vielen Antworten (: Ich habs jetzt noch einmal probiert ich nehme an: a*(-b(=-(a*b) dann gilt: (a*b)+(-(a*b))=0 <-->(a*b)+a*(-b)=0 (da ich davon ausgehe a*(-b) = -(a*b) additive Inverse) <--> a*(b+(-b)=0 (distributivgesetz) <--> 0=0 Oder kann ich das so nicht machen? |
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| 23.01.2013, 21:20 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dein ganzer Beweis ist sehr unschön, obwohl durchaus brauchbare Sachen dabei sind... Warum machst es nicht so, dass du zuerst berechnest, wobei man natürlich vorher gezeigt haben muss, und dann auf beiden Seiten der Gleichung addierst? Und wie gesagt: "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" - diese vielen überflüssigen Klammern zeigen für mich eigentlich nur die Unkenntnis dieser elementaren Regel... |
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