Ansatz für DGL finden

22.01.2013, 02:54

HansimGlück

Ansatz für DGL finden

[attach]27979[/attach]

Hallo,

ich habe noch immer nicht ganz durchschaut, wie man richtige Ansätze zur Lösung von DGL findet.

Könnte mir jemand dabei bitte helfen.

22.01.2013, 08:35

Che Netzer

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Als erstes solltest du die Lösung der homogenen Gleichung suchen; dazu verwende den Exponentialansatz.

22.01.2013, 09:13

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Che Netzer
Als erstes solltest du die Lösung der inhomogenen Gleichung suchen; dazu verwende den Exponentialansatz.

Du meinst der homogenen ...

22.01.2013, 09:17

Che Netzer

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Danke, hab's editiert smile

22.01.2013, 12:10

HansimGlück

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$\begin{eqnarray*} y_{h} (x) = c_{1}*e^x+c_{2}*e^{-3x} \end{eqnarray*}$

Der Ansatz für die homogene ist ja stets der Exponentialansatz?

Der Ansatz für die spezielle ist jener, den ich nicht ganz verstehe. Ich weiß, dass dieser abhängig von der Störfunktion ist und man anhand der Störfunktion in einer Tabelle nachschauen kann, welcher Ansatz zu wählen ist. Bei einfachen Störfunktionen klappt das auch noch. Bei komplizierteren, bei denen z.B. "Verkettungen" von Ansätzen anzuwenden sind, scheitere ich oft.

22.01.2013, 12:18

RavenOnJ

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Zitat:

Original von HansimGlück
Der Ansatz für die homogene ist ja stets der Exponentialansatz?

Nur bei lineareren DGls mit konstanten Koeffizienten.

22.01.2013, 12:24

Che Netzer

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Zur rechten Seite: Probier es mal mit einem Polynom mal der Exponentialfunktion.

22.01.2013, 15:08

HansimGlück

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Nur bei lineareren DGls mit konstanten Koeffizienten.

Genau, hab ich aber vergessen auch zu erwähnen.

Störfunktion $\begin{eqnarray*} 2xe^x+1 \end{eqnarray*}$
Ansatz für $\begin{eqnarray*} 2xe^x \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} (b_{1}x+b_{0})*e^x \end{eqnarray*}$
Ansatz für $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ : d

Ansatz für die gesamte Störfunktion: $\begin{eqnarray*} (b_{1}x+b_{0})*e^x + d \end{eqnarray*}$

Stimmt das?
Scheint mir noch eins der leichteren Beispiele zu sein.

Ich melde mich später noch mit einer "komplizierteren" Störfunktion und danke schon jetzt für eure Hilfe!

22.01.2013, 15:10

Che Netzer

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Zitat:

Original von HansimGlück
Ansatz für die gesamte Störfunktion: $\begin{eqnarray*} (b_{1}x+b_{0})*e^x + d \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Probier es einfach aus, wenn du eine Lösung erhältst, war der Ansatz richtig Augenzwinkern

22.01.2013, 15:16

HansimGlück

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Stimmt natürlich Augenzwinkern

Melde mich dann!

Edit:
Für b_1 erhalte ich 1/2 und für d -1/3. b_0 hebt sich nach Einsetzen in die DGL auf. Entweder ich hab einen Fehler beim Ansatz oder einen Flüchtigkeitsfehler beim Ableiten / Einsetzen gemacht. Hab jetzt leider keine Zeit mehr, melde mich aber am Abend wieder.

22.01.2013, 15:17

Che Netzer

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Aber eröffne für die nächste DGL bitte ein neues Thema, damit es übersichtlich bleibt Augenzwinkern

22.01.2013, 20:08

HansimGlück

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Haut nicht hin traurig

Ich hab den Ansatz ein wenig umgeschrieben, weil das die Latex-Eingabe vereinfach:
$\begin{eqnarray*} (bx+s)e^x + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> y_{s}(x)=b*x*e^x+s*e^x + d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{s}'(x)=b*e^x+b*x*e^x+s*e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{s}''()=b*e^x+b*e^x+b*x*e^x+s*e^x=2*b*e^x+b*x*e^x+s*e^x \end{eqnarray*}$

Einsetzen in DGL
$\begin{eqnarray*} y''+2y'-3y=2xe^x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*b*e^x+b*x*e^x+s*e^x + 2*b*e^x+2*b*x*e^x+2*s*e^x-3*b*x*e^x-3*s*e^x-3d=2xe^x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4*b*e^x-3d=2xe^x+1<br /> \end{eqnarray*}$

Das stimmt doch nicht?

22.01.2013, 20:43

Che Netzer

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Fieserweise hast du hier ja bereits ein $\begin{eqnarray*} \mathrm e^x \end{eqnarray*}$ in der homogenen Lösung. Wenn dann ein weiterer $\begin{eqnarray*} \mathrm e^x \end{eqnarray*}$ -Term hinzukommt, wird der mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multipliziert.
Probier es also mit $\begin{eqnarray*} x(bx+s)\mathrm e^x+d \end{eqnarray*}$ .

22.01.2013, 21:17

HansimGlück

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Ach, auf die Resonanz habe ich ganz vergessen!

Wäre in der hom. Lösung e^2x vorgekommen, dann müsste ich bei dem Ansatz für die partikuläre Lösung kein x ergänzen, oder?

22.01.2013, 21:23

Che Netzer

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Naja, ob nun ein $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{2x} \end{eqnarray*}$ vorkommt, ist egal, hauptsache es ist kein $\begin{eqnarray*} \mathrm e^x \end{eqnarray*}$ .

22.01.2013, 22:52

HansimGlück

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Danke dir!

23.01.2013, 12:29

HansimGlück

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Noch eine Frage zur Resonanz:

Diese tritt auf bei mehrfachen Nullstellen und/oder, wenn in in der homogenen Lösung und im Ansatz der speziellen Lösung Terme übereinstimmen?

23.01.2013, 15:57

Che Netzer

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In beiden Fällen.
Anders ausgedrückt: Wenn du einen $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ -Term in irgendeine Lösung schreibst, multiplizierst du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ so oft dazu, wie dieser Term schon in anderen Lösungen/Lösungsteilen vorkam.

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