Wieder ein Dreieck

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Wieder ein Dreieck
Hi!

Folgende Aufgabe: Es sei ein Dreieck, darin sei die Winkelhalbierende von bezeichnet mit . Die Parallele durch zu schneide die Verlängerung von über im Punkt . Beweise, dass unter diesen Voraussetzungen, dass Dreieck gleichschenklig ist.
Ich habe mal ein Bild dazu angehängt.

Problem - wo soll ich anfangen? Ist es günstiger gleichheit von Winkeln zu zeigen, oder dass zwei Seiten gleich lang ist? Ich kann doch außer den Nebenwinkel von keine weiteren Aussagen zu den Winkeln machen, oder??? Wie gehe ich am besten ran an den Beweis?

Danke für eure Hilfe!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, daß im Dreieck die Winkel bei und den Wert besitzen. Dazu brauchst du nur Winkelgesetze bei Parallelen (F- und Z-Winkel, d.h. Stufen- und Wechselwinkel).
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Ich konnte das jetzt beweisen. War auch gar nict so schwer gewesen. Der Winkel bei B und bei E sind tatsächlich gleich.
Aber ich habe noch eine Frage: Kann es bei geeignetem passieren, dass auch ein gleichseitiges Dreieck rauskommt? Ich würde sagen ja. Hab es mal durchgerechnet.

Und dann: Reicht es eigentlich aus zu zeigen, dass zwei Winkel gleiche Größe haben. Ich hab nämlich in der Literatur immer nur davon gelesen, dass bei einem gleichschenkligen Dreieck zwei Schenkel gleich lang sind. Ist das mit der Winkelgleichheit jetzt eine Folgerung daraus oder ist es äquivalent zur Aussage, dass die Seiten gleich lang sind???

Danke für Antwort Wink
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
@Leopold: Ich konnte das jetzt beweisen. War auch gar nict so schwer gewesen. Der Winkel bei B und bei E sind tatsächlich gleich.
Aber ich habe noch eine Frage: Kann es bei geeignetem passieren, dass auch ein gleichseitiges Dreieck rauskommt? Ich würde sagen ja. Hab es mal durchgerechnet.

Und dann: Reicht es eigentlich aus zu zeigen, dass zwei Winkel gleiche Größe haben. Ich hab nämlich in der Literatur immer nur davon gelesen, dass bei einem gleichschenkligen Dreieck zwei Schenkel gleich lang sind. Ist das mit der Winkelgleichheit jetzt eine Folgerung daraus oder ist es äquivalent zur Aussage, dass die Seiten gleich lang sind???

Danke für Antwort Wink


auch ohne mir die kometenz von leopold anmaßen zu wollen:
gleich lange seiten fordern (im dreieck) gleich große winkel, und umgekehrt.
nicht als beweis aber als beleg: sonst würde z.b. der sinussatz nicht funktionieren.
aber denk nur an kongruenz und/ oder ähnlichkeit
werner
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

@werner: Ich habe auch gerade nochmal bei wikipedia geguckt:

Zitat:

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind wenigstens zwei Seiten gleich lang und daher die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich groß.

Scheint dann wohl aber eher eine Folgerung zu sein, aber doch gleichwertig zur Aussage der gleich langen Seiten. Also reicht das hoffentlich aus, was ich gezeigt habe.

Dankeschön Wink
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Klar reicht das. Im Dreieck gilt viel weitreichender folgende erfreuliche Eigenschaft:

Kürzeren Seiten entsprechen kleinere Winkel, und umgekehrt!

Wer's lieber in Formeln mag:

,

natürlich nur exemplarisch, das gilt auch umgekehrt, und für (mit) usw.

Das hab ich in der Schule weit vor dem Sinussatz kennengelernt. Augenzwinkern
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

der beweis ist ja wirklich nicht allzu schwer, oder verwirrt


und klar gibt es auch eine variante mit gleichseitigem dreieck, wenn

nichts für ungut
werner
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

@wernerin und @arthurdent: Danke für die Posts. Der Beweis ist wirklich nicht schwer. Ich hatte mich halt bloß gewundert, dass uns doch macnchmal so einfache Fragen gestellt werden, obwohl man mit einer komplizierteren Frage rechnet. Aber nun gut: alles erledigt Augenzwinkern
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