Grenzwert zu Reihe

22.01.2013, 10:59

NeoKortex

Grenzwert zu Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^{n+3} }{3^{n+2} } = \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{2^{n+3} }{3^{n+2} }} = \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{2^{n+3} } }{\sqrt[n]{3^{n+2} } } = \frac{2^{3} }{3^{2} } = \frac{8}{9} \end{eqnarray*}$

Wolframalpha gibt mir allerdings 16/9 als Lösung zurück. Was mach ich falsch?

22.01.2013, 11:07

klarsoweit

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RE: Grenzwert zu Reihe
Genau dieses:

Zitat:

Original von NeoKortex
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^{n+3} }{3^{n+2} } = \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{2^{n+3} }{3^{n+2} }} \end{eqnarray*}$

Anscheinend verwechselst du die Berechnung des Reihenwerts mit dem Wurzelkriterium, wobei da die weitere Rechnung auch noch falsch ist. smile

22.01.2013, 11:09

Mazze

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Es ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2^{n+3}} = \sqrt[n]{2^{n}2^3} = 2\sqrt[n]{2^3} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung so ist auch nicht richtig wie klarsoweit schon angemerkt hat. Ich hätte im Übrigen die Reihe so umgeformt , dass man die geometrische Reihe anwenden kann. Aber das ist ja nur eine Geschmacksfrage.

22.01.2013, 11:15

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mazze
Aber das ist ja nur eine Geschmacksfrage.

Wenn man tatsächlich den Grenzwert berechnen soll, dann nicht.

22.01.2013, 11:18

NeoKortex

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Also mit dem Wurzel- bzw. Qoutientenkriterium krieg ich nur die Konvergenz oder Divergenz der Reihe raus, aber nicht ihren Grenzwert?

Bin gad verwirrt, weil ich mit google ein paar Aufgaben gefunden habe, indem der Grenzwert mit dem Wurzel- bzw. Outientenkriterium gerechnet wurde ( ähnlichem Forenbeitrag wie diesem ).

22.01.2013, 11:33

Mazze

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Zitat:

Wenn man tatsächlich den Grenzwert berechnen soll, dann nicht.

Da hab ich mal wieder nicht aufmerksam gelesen. Danke!

Zitat:

Bin gad verwirrt, weil ich mit google ein paar Aufgaben gefunden habe, indem der Grenzwert mit dem Wurzel- bzw. Outientenkriterium gerechnet wurde ( ähnlichem Forenbeitrag wie diesem ).

Beachte meinen Hinweis mit der geometrischen Reihe.

22.01.2013, 11:33

NeoKortex

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$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \sum\limits_{k=1}^ \infty (\frac{2^{3} }{3^{2} })^{1/n} \end{eqnarray*}$

Wäre das ein richtiger Ansatz? Und dann die Reihe noch iwie von 0 starten lassen.

22.01.2013, 11:36

NeoKortex

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

Bin gad verwirrt, weil ich mit google ein paar Aufgaben gefunden habe, indem der Grenzwert mit dem Wurzel- bzw. Outientenkriterium gerechnet wurde ( ähnlichem Forenbeitrag wie diesem ).

Beachte meinen Hinweis mit der geometrischen Reihe.

Ist das nur bei der Aufgabe so, dass ich die geometrische Reihe anwenden muss, um den Grenzwert zu berechnen, oder gilt es generell, das Qouitenten- bzw. Wurzelkriterium zu keinem Ergebnis führen? Bin grad verwirrt

22.01.2013, 11:48

Mazze

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Zitat:

oder gilt es generell, das Qouitenten- bzw. Wurzelkriterium zu keinem Ergebnis führen?

Quotienten als auch Wurzelkriterium liefern Dir Konvergenzaussagen. Mir fällt jetzt kein Beispiel ein wo man damit auch den Grenzwert einer Reihe bestimmen könnte, aber ganz ausschließen kann ichs nicht.

Zitat:

Ist das nur bei der Aufgabe so, dass ich die geometrische Reihe anwenden muss, um den Grenzwert zu berechnen,

Man kann im Zweifel auch anders herangehen aber da es sich um eine geometrische Reihe handelt wird man so oder so diese Eigenschaften benutzen um den Grenzwert zu bestimmen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \sum\limits_{k=1}^ \infty (\frac{2^{3} }{3^{2} })^{1/n} \end{eqnarray*}$

Ich frage mich wie Du auf das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ im Exponenten kommst. Zudem ist der Faktor vor der Reihe auch falsch.

22.01.2013, 11:51

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mazze
Quotienten als auch Wurzelkriterium liefern Dir Konvergenzaussagen. Mir fällt jetzt kein Beispiel ein wo man damit auch den Grenzwert einer Reihe bestimmen könnte, aber ganz ausschließen kann ichs nicht.

Abgesehen vom "Grenzwert" $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ geht das gar nicht, da beide Kriterien nicht von endlich vielen Summanden beeinflusst werden, die aber durchaus den Grenzwert verändern können.

22.01.2013, 11:59

NeoKortex

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ok danke, mit viel ausprobieren ist mir dann folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} - \frac{8}{9} + \frac{8}{9} * \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{n} }{3^{n} } \end{eqnarray*}$

und das Ergebnis ist 16/9.

Aber ehrlich gesagt, ich hätte weder die geometrische Reihe erkannt, noch wäre ich ohne die Lösung zu wissen, darauf gekommen.

Mathe so schwer unglücklich

22.01.2013, 12:06

Mazze

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Zitat:

Danke!

Zitat:

Aber ehrlich gesagt, ich hätte weder die geometrische Reihe erkannt, noch wäre ich ohne die Lösung zu wissen, darauf gekommen.

Naja, Du hast einen Quotienten den Du betragsmäßig kleiner 1 umformen kannst und n im Exponenten von Zähler und Nenner. Das stinkt 10 Meter gegen den Wind nach der geometrischen Reihe Augenzwinkern

. (man findet sicher Beispiele wo es nicht klappt aber meistens gehts)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} - \frac{8}{9} + \frac{8}{9} * \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{n} }{3^{n} } \end{eqnarray*}$

Naja,

das Ergebnis ist schon 16/9 nur wie bist Du auf den ersten Summanden gekommen? Ich hätte so umgeformt :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^{n+3} }{3^{n+2} } = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{n+4}}{3^{n+3}} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^4}{3^3}\frac{2^n}{3^n} = \frac{16}{27}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^n}{3^n} \end{eqnarray*}$

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