Lineares Gleichungssystem in Abh. von Lambda

22.01.2013, 11:24

Manuel99

Lineares Gleichungssystem in Abh. von Lambda

Hallo Matheboard!

Ich habe folgendes Problem... meine Aufgabe ist es die allgemeine Lösung dieses Linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit vom Parameter Lambda zu bestimmen.

Das LSG sieht folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \lambda x + y + z = 1\\ x + \lambda y + z = \lambda\\ x + y + \lambda z = \lambda^{2} \end{eqnarray*}$

Ich habe es nun erstmal in eine erweiterte Koeffizientenmatrix übertragen und danach versucht es in eine Stufenform zu bringen:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|l}\lambda & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda & \lambda^{2} \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Nun habe ich versucht so eine Stufenform zu erzeugen:
Zweite Zeile + Erste Zeile:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|l}\lambda & 1 & 1 & 1 \\ (1+\lambda) & (1+\lambda) & 2 & (1+\lambda) \\ 1 & 1 & \lambda & \lambda^{2} \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Erste Zeile durch Lambda und Zweite Zeile durch (1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|l}1 & \frac{1}{\lambda} & \frac{1}{\lambda} & \frac{1}{\lambda} \\ 1 & 1 & (\frac{2}{(1+\lambda)}) & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & \lambda^{2} \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Dritte Zeile - Zweite Zeile:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|l}1 & \frac{1}{\lambda} & \frac{1}{\lambda} &\frac{1}{\lambda} \\ 1 & 1 & (\frac{2}{(1+\lambda)}) & 1 \\ 0 & 0 & (\lambda-\frac{2}{(1+\lambda)}) & (\lambda^{2}-1) \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Zweite Zeile - Erste Zeile:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|l}1 & \frac{1}{\lambda} & \frac{1}{\lambda} &\frac{1}{\lambda} \\ 0 & (1-\frac{1}{\lambda}) & (\frac{2}{(1+\lambda)}-\frac{1}{\lambda}) & (1-\frac{1}{\lambda}) \\ 0 & 0 & (\lambda-\frac{2}{(1+\lambda)}) & (\lambda^{2}-1) \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

So nun habe ich zwar die Stufenform... und nun müsste ich ja eigentlich in der dritten Zeile ablesen können was für ein Wert für Lambda in Frage käme, aber durch die vielen Umformungen sind die ganzen Ausdrücke ja so dermaßen unhandlich geworden, das ich bezweifel ob ich überhaupt richtig vorgegangen bin.

Daher meine Fragen:

a.) bin ich auf dem richtigen Weg? Und wenn ja, wie komme ich weiter?

b.) gibt es einen einfacheren und schnelleren Weg die Aufgabe zu lösen? Ich bin wirklich ein bisschen lost.

22.01.2013, 11:43

Dopap

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Du bist schon auf dem richtigen Weg. Man soolte aber vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} z\cdot\frac {(\lambda-1)(\lambda +2)}{\lambda+1}=(\lambda-1)(\lambda+1) \end{eqnarray*}$

und jetzt kannst Überlegungen bezüglich der Lösungsmenge in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ anstellen.

22.01.2013, 12:42

Manuel99

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Lambda darf nicht 0 sein, sonst geht die Gleichung nicht, aber sonst ist mir nichts aufgefallen, bzw. z. hat ja auch immer einen anderen Wert für jedes andere Lambda. Narf

22.01.2013, 13:09

Manuel99

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Lambda darf nicht -1 sein, so ist es richtig. Damit der Nenner nicht 0 wird. SO ist es zwar nun richtig hilft aber auch nur begrenzt.

So... wenn ich mal $\begin{eqnarray*} (\lambda+1) \end{eqnarray*}$ und durch $\begin{eqnarray*} (\lambda-1)(\lambda+2) \end{eqnarray*}$ rechne vereinfacht sich das ganze durch mögliches Kürzen zu:

$\begin{eqnarray*} z= \frac{(\lambda+1)(\lambda+1)}{\lambda+2}=\frac{\lambda^{2}+2\lambda+1}{\lambda+2} \end{eqnarray*}$

Aber das ist doch jetzt nicht das ergebnis, oder doch?

22.01.2013, 14:04

klarsoweit

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RE: Lineares Gleichungssystem in Abh. von Lambda

Zitat:

Original von Manuel99
Erste Zeile durch Lambda und Zweite Zeile durch (1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ):

Spätestens an dieser Stelle fangen doch die Probleme an. Hier mußt du nämlich die Fälle lambda = 0 und lambda = -1 separat betrachten. Außerdem war es meiner Meinung nicht geschickt, als erstes die 1. Zeile zur 2. Zeile zu addieren. Besser erscheint es mir, wenn du die 2. und 3. Zeile mit -lambda multiplizierst. Dann kannst du anschließend die 1. Zeile addieren.

22.01.2013, 16:07

Dopap

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ungeschickt vielleicht, trotzdem muss es ja funktionieren.

Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} z\cdot\frac {(\lambda-1)(\lambda +2)}{\lambda+1}=(\lambda-1)(\lambda+1) \end{eqnarray*}$

1.) was ist für $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ , ? das kann man sehen

2.) was ist für $\begin{eqnarray*} \lambda = -2 \end{eqnarray*}$ , ? das kann man sehen

3.) was ist für $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ , ? nix besonderes.

4.) was ist für $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ , ? den Fall würde ich am Original behandeln.

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