Eigenwerte berechnen

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22.01.2013, 13:16	Buntstift007	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte berechnen Meine Frage: Hallo alle zusammen! Ich habe hier eine Matrix und soll dabei über das Charakteristische Polynom die EW ausrechnen. Eigentlich kein Problem, aber bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter. Könntet ihr mir bitte helfen! Meine Ideen: Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Davon hab ich jetzt versucht das CharPolynom: det(tE - Matrix)auszurechnen. Allerdings komme ich dabei ganz am Ende immer auf das gleiche (sehr bescheidene) Ergebniss. Nämlich : $\begin{eqnarray} t\times \left( t^{3} - 5t^{2}- 4t + 32 \right) \end{eqnarray*}$ . Die EW die ich rausbekommen müsste sind laut Internetrechner: -5,-3,0,5. Nun ja, das kommt bei meiner Gleichung nicht raus!
22.01.2013, 13:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte berechnen Das charakteristische Polynom stimmt so nicht; die berechneten Eigenwerte passen weder zur Matrix zu zum Polynom. Wie bist du denn vorgegangen? PS: "Ergebnis" schreibt sich mit einem s
22.01.2013, 14:06	Buntstift07	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab erst die Einheitsmatrix mit t multipliziert und dann die Matrix abgezogen. Da kam dann raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t-4 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & t & 0 & 0 \\ -2 & 0 & t-1 & -2 \\ -4 & 0 & -2 & t-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Davon habe ich dann die Determinante gebildet (oder zumindest versucht), indem ich nach der 2. Spalte entwickelt habe: Da kam dann für die Determinante das raus: $\begin{eqnarray} t\times \begin{pmatrix} t-4 & -2 & -4 \\ -2 & t-1 & -2 \\ -4 & -2 & t-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Davon hab ich dann mit der Regel von Sarrus nochmal die Det. gebildet, sodass da dann stand: $\begin{eqnarray} t\times \left(\left(t-4\right)\left(t-1\right)\left(t-4\right)+ \left(-2\right)\left(-2\right)\left(-4\right)+ \left(-4\right)\left(-2\right)\left(-2\right)\right) \end{eqnarray}$ - ((-4)(t-1)(-4) + (-2)(-2)(t-4) + (t-4)(-2)(-2))
22.01.2013, 14:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
der Subtrahend ((-4)(t-1)(-4) + (-2)(-2)(t-4) + (t-4)(-2)(-2)) muss auch mit t multipliziert werden.
22.01.2013, 14:29	Buntstift07	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh sorry, die Klammer hab ich hier vergessen zu setzen. In meiner Rechnung hab ich die. Dann kam t*( (t-4)(t-1)(t-4) - 32 - (t-1)16 - 4(t-4)- 4(t-4)) raus und ab hier fangen meine Fehler an denke ich! Kannst du ab hier mal weiterrechnen?
22.01.2013, 14:38	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe da jetzt keinen Fehler. Und weiterrechnen kannst du auch selber. Siehe unser Board-Prinzip.
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22.01.2013, 14:41	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
@klarsoweit: Du nimmst mir die Worte aus dem Mund
22.01.2013, 15:00	Buntstift07	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut dann rechne ich weiter und ihr korrigiert! Hier muss einiges schief gelaufen sein! t* ((t-4)(t-1)(t-4) -32 -16t -16 + 8t -32) $\begin{eqnarray} t\times (t^{3} -9t^{2}+ 16t -64) \end{eqnarray}$ stimmts noch?
22.01.2013, 15:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du hast $\begin{eqnarray} -4(t-4)=-4t-16 \end{eqnarray}$ gerechnet (so scheint es mir zumindest) und dabei vergessen, das Minus auch an den zweiten Summanden in der Klammer zu multiplizieren.
22.01.2013, 15:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei -(t-1)16 ist es auch schon schief gegangen.
22.01.2013, 15:32	Buntstift07	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt $\begin{eqnarray} t\times \left(t^{3}-9t^{2}-7t-32 \right) \end{eqnarray}$ ??
22.01.2013, 15:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe etwas anderes
22.01.2013, 15:40	Buntstift07	Auf diesen Beitrag antworten »
AHHH ich habs! Versuch 12 ist geglückt!
22.01.2013, 15:43	Buntstift07	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} t^{4} -9t^{3} \end{eqnarray}$ Und damit sind die EW ja sowas von klar!!! Gibt es denn dafür noch einen einfacheren weg? Das hat jetzt etwa 3 stunden gedauert, so viel zeit hab ich in der klausur nicht!
22.01.2013, 15:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte statt det(tE-A) lieber det(A-tE) berechnet. Für die Berechnung der Nullstellen ist das unerheblich, erspart die aber viele Vorzeichen. Außerdem hätte ich hier $\begin{eqnarray} t\times \begin{pmatrix} t-4 & -2 & -4 \\ -2 & t-1 & -2 \\ -4 & -2 & t-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ von der dritten Zeile zweimal die zweite abgezogen und damit links unten eine 0 erzeugt.

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