Unitäre Matrix einer selbstadjungierten Matrix berechnen |
| 22.01.2013, 13:42 | Kallinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Unitäre Matrix einer selbstadjungierten Matrix berechnen Hey, kann mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen? Gegeben sei die selbstadjungierte Matrix: Berechnen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren sowie die unitäre Matrix U, so das gilt: Meine Ideen: Ich habe die Eigenwerte und die Eigenvektoren bestimmt. Muss ich jetzt die Eigenvektoren normieren und dann als Spalte schreiben um die Matrix U zu bekommen? Die adjungierte Matrix von U weiß ich zu bestimmen. Und was ist gemeint mit:"A' diagonal wird"? Welcher Teil ist dafür entscheidend? Vielen Dank schonmal |
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| 22.01.2013, 14:03 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Unitäre Matrix einer selbstadjungierten Matrix berechnen wenn die Eigenvektoren bereits orthogonal sind, reicht die Normierung. Die Matrix A' enthält auf der Diagonalen die zugehörigen Eigenwerte. |
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| 22.01.2013, 15:31 | Kallinski | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso Ok, vielen Dank! Edit: So richtig verstehe ich das doch nicht. Meine Eigenvektoren sehen schon ziemlich kompliziert aus und wenn ich die dann noch normiere und in eine Matrix zusammenfasse, welche ich dann noch mit anderen multiplizieren soll, kriege ich ellenlange, komplizierte Rechnungen raus. Ich glaube irgendwas habe ich falsch gemacht. Und wie meinst du das mit "Wenn die Eigenvektoren orthogonal sind, reicht normieren aus"? |
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| 22.01.2013, 18:44 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dazu kann ich nichts sagen, weil ich deine EV nicht kenne und auch nicht deine Rechnungen dazu.
Die Spalten einer unitären Matrix bilden ein Orthonormalsystem. Die Spaltenvektoren müssen also orthogonal und normiert sein. Und wenn sie schon orthogonal sind, dann reicht normieren aus. Bei einer selbstadjungierten Matrix sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten z.B. immer orthogonal. |
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| 22.01.2013, 18:59 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah, was ich noch vergessen habe: Du musst dann keine Matrizen mehr multiplizieren. Du gibst U an, die adjungiert von U ist dann geschenkt und A' kennst du auch. A' ist nämlich die Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente die Eigenwerte sind. Damit bist du fertig, |
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