Aussage anhand von Grafik beweisen

22.01.2013, 14:27

Ninis#

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Aussage anhand von Grafik beweisen

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe folgendes gegeben: f: IR -> IR und die Aussage: f''(x) > 0, dann ist f streng konvex.

Und die Aufgabe lautet:
Zeigen SIe anhand eines Gegenbeispiels, dass die umgekehrte Implikation NICHT gilt! (Um die Konvexität ihres Gegenbeispiels zu demonstrieren ist eine geeignete Grafik ausreichend)

Meine Ideen:
umgekehrte Implikation würde ja bedeuten: f''(x) < 0 ist f streng konvex. Richtig (bin mir nicht sicher ob da konvex oder konkav stehen muss)?

Bei der Grafik hab ich jetzt meine Probleme. Kann mir da jemand im Ansatz helfen?
In der Schule habe ich gelernt, dass die erste Ableitung die Steigung ist und die zweite Ableitung gibt mir die Wendepunkte an. Aber hilft mir das bei dieser Aufgabe ? :O

22.01.2013, 14:57

RavenOnJ

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Die Sache mit den Wendepunkten ist nur eine Anwendung der 2. Ableitung, die an den Stellen nämlich =0 sein muss. Das ist hier aber vollkommen uninteressant, da hier die 2. Ableitung auf ganz $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ größer als Null sein soll.

Wenn die 1. Ableitung die Steigung ist, dann ist die 2. Ableitung die Steigung der Steigung. Wenn die also überall > 0 ist, was folgt daraus für die 1. Ableitung rein qualitativ, d.h. ohne Formeln?

Wenn man einen Satz der Form $\begin{align*} A\Rightarrow B \end{align*}$ hat, was bedeutet dann "umgekehrte Implikation" für diesen Satz? Jetzt aber bitte formalisiert.

22.01.2013, 16:44

Ninis3

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Danke schonmal für die Hilfe!

Also wenn die zweite Ableitung größer 0 ist, also die Steigung der 1.Ableitung größer 0. Dann würde das für mich bedeuten, dass die 1. Ableitung auch <0 sein müsste, seh ich das richtig ?

B => A ?
aber hier habe ich ja IR -> IR ? verwirrt

verwirrt

22.01.2013, 18:30

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Ninis3

Also wenn die zweite Ableitung größer 0 ist, also die Steigung der 1.Ableitung größer 0. Dann würde das für mich bedeuten, dass die 1. Ableitung auch <0 sein müsste, seh ich das richtig ?

Keine Ahnung, wie du darauf kommst, das stimmt auf alle Fälle nicht generell. Die Frage war, anders formuliert, was das für den Funktionsverlauf und was das für die Frage (streng) konvex oder konkav bedeutet.

Zitat:

B => A ?
aber hier habe ich ja IR -> IR ? verwirrt

verwirrt

$\begin{align*} A\Rightarrow B \end{align*}$ ist ein logisches Konstrukt, eine Implikation: "Aus A folgt B". Das hat nichts mit einer Abbildung zu tun. Aber du hast richtig geraten, die umgekehrte Implikation wäre $\begin{align*} B\Rightarrow A \end{align*}$ . In deinem Fall also:
"Ist $\begin{align*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{align*}$ streng konvex, dann ist $\begin{align*} f'' > 0 \end{align*}$ ".

Hier ist zu zeigen, dass diese Aussage falsch ist, dass es also streng konvexe Funktionen gibt, deren zweite Ableitung an einer Stelle =0 sein kann.

22.01.2013, 19:42

Ninis4

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Naja, wenn ich zwei Punkte der Funktion verbinde, und die Funktion liegt über der Graden, ist sie in diesem Abschnitt Konkav, andersrum ist sie konvex.

22.01.2013, 20:03

RavenOnJ

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sie ist sogar streng konvex, wenn die Funktionswerte zwischen den Punkten alle unter der Verbindungsgeraden liegen. Wie kommt jetzt die Vorausetzung $\begin{align*} f''(x) > 0, \forall x\in \mathbb R \end{align*}$ rein?

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22.01.2013, 20:49

Ninis5

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Gute Frage, ich such schon in meinen Unterlagen, aber irgendwie wird mir das alles nicht klar.
Wenn f''(x) > 0 ist, dann sind wir oberhalb der x-Achse? Versteh ich das richtig?

22.01.2013, 21:21

RavenOnJ

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Nein, das stimmt nicht. Du kannst eine beliebige, auch negative Konstante dazu addieren und die Ungleichung gilt immer noch.

22.01.2013, 21:23

RavenOnJ

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Aus $\begin{align*} f'' >0 \end{align*}$ folgt, dass $\begin{align*} f' \end{align*}$ streng monoton steigend ist.

22.01.2013, 21:50

Ninis6

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ich steh echt auf dem Schlauch.
ich hab ein streng konvexes f. Was ich suche ist f''(x) <0 ?
Dann muss f' fallend sein oder?

22.01.2013, 22:00

RavenOnJ

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Nein, du sollst zeigen, dass die Implikation

f streng konvex $\begin{align*} \Rightarrow f'' > 0 \end{align*}$

falsch ist. Du kannst das mit einer streng konvexen Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ zeigen, für die an einer Stelle $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} f''(x_0) =0 \end{align*}$ .

22.01.2013, 22:09

Ninis7

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Dann müsste f eine Wendestelle im 0-Punkt haben oder ?

23.01.2013, 00:27

RavenOnJ

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Nein, muss es nicht. Denk an ganz einfache Polynome, die streng konvex sind.

23.01.2013, 12:30

Ninis 8

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wäre x² ein Beispiel?
Die Funktion ist ja streng konvex und an f''(x)=0 oder?

23.01.2013, 13:03

RavenOnJ

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z.B., aber auch $\begin{align*} x^4, x^6, \cdots \end{align*}$ . Grad fiel mir noch auf: Du meinst vermutlich f''(0) =0.

23.01.2013, 13:06

Ninis9

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Also zeichne ich jetzt x² und zusätzlich die zweite Ableitung, also eine Gerade, die parallel zur x-Achse durch f(x)=2 verläuft ?

23.01.2013, 13:20

Huggy

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Zitat:

Original von RavenOnJ
z.B., aber auch $\begin{align*} x^4, x^6, \cdots \end{align*}$ . Grad fiel mir noch auf: Du meinst vermutlich f''(0) =0.

Wieso aber auch?

Bei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f''(x)=2 \end{eqnarray*}$ , auch bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ .

23.01.2013, 13:20

RavenOnJ

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ja, wenn das so verlangt wird ...

23.01.2013, 13:23

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von RavenOnJ
z.B., aber auch $\begin{align*} x^4, x^6, \cdots \end{align*}$ . Grad fiel mir noch auf: Du meinst vermutlich f''(0) =0.

Wieso aber auch?

Bei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f''(x)=2 \end{eqnarray*}$ , auch bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ .

Hammer

, klar. Irgendwie war ich schon bei $\begin{align*} x^4 \end{align*}$ und die Überraschung über $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ ist zu schnell in mein Unterbewusstsein abgesunken, sodass sie mich nicht mehr aufschreckte.

23.01.2013, 13:28

Ninis09

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Leute, verwirrt mich hier jetzt nicht :-D

passt meine vorgeschlagene Lösung also zur Fragestellung?

x² zeichnen und am besten noch die Konvexität zeigen durch verbinden zweier Punkte. Und die zweite Ableitung also f(x)=2 ?

23.01.2013, 13:40

Huggy

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Wegen f'' = 2 ist das kein Gegenbeispiel. Es muss bei einem Gegenbeispiel doch für mindestens einen Punkt f'' = 0 gelten. RavenOnJ hat dir aber tatsächliche Gegenbeispiele genannt.

23.01.2013, 13:42

RavenOnJ

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wie Huggy richtig bemerkte, ist $\begin{align*} [x^2]'' = 2 \end{align*}$ . Damit widerlegst du also nicht die Behauptung, denn es sollte in dem Gegenbeispiel ja gezeigt werden, dass es ein $\begin{align*} f''(x_0) = 0 \end{align*}$ gibt. Nimm also $\begin{align*} x^4 \end{align*}$ und vergiss die $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ schnell wieder.

23.01.2013, 13:43

Ninis08

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hmmm, aber x^4 hat doch auch in keinem Punkt von f''=0 ?

23.01.2013, 13:47

RavenOnJ

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doch, bei x=0.

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