Wann sind Fallunterscheidungen bei Ungleichungen zu machen?

22.01.2013, 14:42

kopfdenker

Wann sind Fallunterscheidungen bei Ungleichungen zu machen?

Meine Frage:
Hallo,

ich verstehe noch nicht so ganz recht, wann ich Fallunterscheidungen bei Ungleichungen zu machen habe.

Meine Ideen:
Beispielsweise bei dieser Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+4x}{x+1} < x + 2 \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt spontan 2 Fälle unterscheiden:

x + 1 > 0
x + 1 < 0

Manchmal gibt es Gleichungen wo einiges in Betragsstrichen gesetzt ist. Die verwirren mich dann total. Was hat es mit Betragsstrichen und Fallunterscheidungen auf sich?

22.01.2013, 15:17

mYthos

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Der Term innerhalb der Betragszeichen kann entweder größer gleich [ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ] Null oder kleiner als Null (negativ) werden.

mY+

22.01.2013, 15:19

RavenOnJ

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Du musst bei Ungleichungen nur dann solche Fallunterscheidungen machen, wenn du die Ungleichung durch Multiplikation umformst. Wenn der multiplizierende Faktor < 0 dann kehrt sich das Ungleichungssymbol um, also aus $\begin{align*} < \end{align*}$ wird $\begin{align*} > \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} \le \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} \ge \end{align*}$ und umgekehrt. Wenn du also deine Ungleichung mit $\begin{align*} x+1 \end{align*}$ multiplizierst, dann musst du darauf achten, ob $\begin{align*} x +1 < 0 \end{align*}$ . Genau dann musst du das Ungleichungssymbol umkehren.

22.01.2013, 15:48

kopfdenker

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OK. Das heißt, wenn ich die Ungleichung auf andere Weise umformen kann anstelle von Multiplikation, muss ich keine Fallunterscheidung machen? Gilt das auch für eine Division?

Bei Betragsstrichen hatten wir das so gemacht, das man generell immer eine Fallunterscheidung macht, egal ob man mit dem Teil der in Betragsstrichen steht multipliziert oder nicht?

22.01.2013, 15:59

RavenOnJ

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Bei Gleichungen oder Ungleichungen, in denen Beträge auftauchen, ist das Problem komplizierter. Hier musst du als erstes feststellen, in welchen Bereichen der Variablen ein Betrag kleiner, größer oder gleich Null ist. (Der Fall =0 kann häufig dem Fall < oder dem Fall > zugeschlagen werden, ohne dass sich etwas wesentlich ändert.) Diese Bereiche unterteilen die Definitionsmenge in disjunkte Mengen. Dies muss für jeden Term gemacht werden, von dem der Betrag genommen wird. Nun muss man Fallunterscheidungen für alle sich nicht gegenseitig ausschließenden Kombinationen <0 ,>0 (evtl. =0) über allen Betragstermen machen. Mal ein Beispiel: Es soll die Gleichung

$\begin{eqnarray*} |x-1|\cdot|x+2| = a, a > 0 \end{eqnarray*}$

gelöst werden. Hier muss man die Fälle

$\begin{eqnarray*} x-1 < 0\;\;\; (*) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-1 > 0\;\;\; (**) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+2 < 0\;\;\; (***) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+2 > 0\;\;\; (****) \end{eqnarray*}$

beachten. (Falls a =2, wäre auch x=0 von Interesse) Man muss jetzt also die Kombinationen $\begin{align*} (*)\land (***) \end{align*}$ , $\begin{align*} (*)\land (****) \end{align*}$ , $\begin{align*} (**)\land (***) \end{align*}$ und $\begin{align*} (**)\land (****) \end{align*}$ betrachten. Allerdings vereinfacht sich die Sache etwas dadurch, dass die Implikationen

$\begin{align*} x -1 > 0 \Rightarrow x+2>0 \end{align*}$

und

$\begin{align*} x +2 < 0 \Rightarrow x-1<0 \end{align*}$

gelten. Die Fälle $\begin{align*} (**)\land (****) \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} (*)\land (***) \end{align*}$ können also vereinfacht werden zu $\begin{align*} (**) \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} (***) \end{align*}$ . Außerdem schließen sich $\begin{align*} (**) \end{align*}$ und $\begin{align*} (***) \end{align*}$ gegenseitig aus. Man muss also die folgenden Fallunterscheidungen machen:

$\begin{eqnarray*} x-1 > 0\Rightarrow x > 1\;\;\; (**) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+2 < 0\Rightarrow x < -2\;\;\; (***) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x < 1\land x > -2 \Leftrightarrow -2 < x < 1\;\;\; (*)\land (****) \end{eqnarray*}$

22.01.2013, 16:01

RavenOnJ

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Zitat:

Original von kopfdenker
Gilt das auch für eine Division?

Eine Division ist analog zur Multiplikation zu behandeln, denn eine Division ist dasselbe wie eine Multiplikation mit dem Kehrwert.

22.01.2013, 16:07

RavenOnJ

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Du kannst dir jetzt überlegen, wie man im obigen Beispiel für die drei zu unterscheidenden Fälle die ursprüngliche Gleichung ohne Betragsstriche schreiben kann.

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