Schnittpunkt zweier Funktionen soll orthogonal sein - Parameter

22.01.2013, 15:31

Nagelpistole

Schnittpunkt zweier Funktionen soll orthogonal sein - Parameter

Hallo!
Ich bin grade bei folgender Aufgabe

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-x^2+2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g(x)=t*x^2-1 \end{eqnarray*}$
Für welches t stehen die Graphen in ihrem Schnittpunkt senkrecht aufeinander.

Mir ist klar, dass dann zeichnerisch bei der Aufgabe ein x entstehen muss. Ich habe nun folgende Formel in meinem Lösungsbuch
$\begin{eqnarray*} f(x)*g(x)=-1 \end{eqnarray*}$

Und die versteh ich nicht. Wenn die Steigung von f(x) =2 wäre und die von g(x) = -2, müssten die Graphen doch orthogonal sein? Aber da kommt in der Gleichung dann -4 und nicht -1 raus. Wieso ist die Formel nicht so
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-1/f('x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-g'(x) \end{eqnarray*}$
daraus folgt
$\begin{eqnarray*} f'(x)/g'(x)=-1 \end{eqnarray*}$
Dann wäre $\begin{eqnarray*} 2 = - (-2) = 2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2/(-2)=-1 \end{eqnarray*}$ .

Den Rechenweg brauch ich nicht, den hab ich verstanden und krieg ich hin mit der Formel. Nur das Verständnis ist das Problem.

22.01.2013, 15:41

Nagelpistole

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okay bin drauf gekommen. Hab nochmal n bisschen rumgezeichnet und gesehen, wenn die Steigung bei f1 = 2 wäre und bei f2 = -2, dann sind die ja gar nicht orthogonal. Der Winkel ist dann so 40° und nicht 90. Die orthogonale Grade hat natürlich die Steigung 1/-m und dann passt das auch.

22.01.2013, 15:52

gajamu

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RE: Schnittpunkt zweier Funktionen soll orthogonal sein - Parameter
hi,
ich hab das Problem mal gelöst:
1.Schritt: Schnittpunkt bestimmen. Lösung:
$\begin{eqnarray*} x_{1}= \sqrt{ \frac{3}{t+t}} \end{eqnarray*}$

2.Schritt:
Wenn die Fuktionen othogonal sein sollen, so müssen die Steigungen(!) im Schnittpunkt gerade entgegengesetzt sein. Steigungen=Ableitungen Also:
Es muss gelten $\begin{eqnarray*} f´(x_{1})=- g(x_{1}) \end{eqnarray*}$ (1)
Die ableitungen sollten kein Problem sein. Dann Gleichsetzen. Das schöne dabei: die x heben sich weg. nach umstellen erhält man : t=1.

3.Schritt: t=1 in $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ einsetzen.
erhalte: $\begin{eqnarray*} x_{1}=\sqrt{3/2} \end{eqnarray*}$
setze das in f, g ein und erahlte dein $\begin{eqnarray*} f(x_{1}) = -g(x_{1}) \end{eqnarray*}$
bzw : $\begin{eqnarray*} f´(x_{1}) = -g´(x_{1}) \end{eqnarray*}$

Hoffe ich konnte dir damit weiterhelfen

so long
gajamu

23.01.2013, 01:04

opi

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@gajamu:

Der Fragesteller hatte sein Problem doch anscheinend schon gelöst, ein Vorrechnen der Aufgabe war überflüssig.

Noch dazu ist Deine Lösung falsch. Von Schreib- und Latexfehlern abgesehen:
- Es gibt zwei Schnittpunkte.
- viel schlimmer:

Zitat:

Die ableitungen sollten kein Problem sein. Dann Gleichsetzen. Das schöne dabei: die x heben sich weg. nach umstellen erhält man : t=1

Die Ableitungen sollen eben nicht gleich sein, und wenn doch, ergäbe sich t=-1.
Wenn sich "die x gegenseitig wegheben" würden, stünden die Funktionsgraphen nach der Aufgabenstellung überall senkrecht aufeinander. unglücklich

Ein Gleichsetzen mit dem negativen Kehrwert (und Einsetzen der Schnittpunkte) führt zu $\begin{eqnarray*} t= \frac 1 {11} \end{eqnarray*}$

23.01.2013, 04:05

telli

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RE: Schnittpunkt zweier Funktionen soll orthogonal sein - Parameter
Hallo Nagelpistole,

Vielleich hilft dir diese Erklärung für das Verständnis:

2 Funktionen sollen in einem Punkt $\begin{eqnarray*} P(x,y) \end{eqnarray*}$ senkrecht aufeinander stehen.

Das ist genau dann der Fall, wenn die Richtungsvektoren für die Steigungen von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ senkrecht sind und die sind genau dann Senkrecht wenn das Skalarprodukt beider Vektoren $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergibt, da $\begin{eqnarray*} cos(90)=0 \end{eqnarray*}$ .

Nun wie kommt man an die Richtungsvektoren? Ja ganz einfach, man bestimmt die Steigung beider Funktionen in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und schon hat man die Vektoren zwar
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\m_1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\m_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ die jeweiligen Steigungen im Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ d.h. gilt die gleichung $\begin{eqnarray*} m_1\cdot m_2 = -1 \end{eqnarray*}$ , so sind $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} P(x,y) \end{eqnarray*}$ senkrecht aufeinander. Noch allgemeiner geschrieben: $\begin{eqnarray*} f'(x)\cdot g'(x)=-1 \end{eqnarray*}$ so, die Formel ist nun bewiesen.

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