Rentenaufgabe [war: Wachstumsaufgabe-sehr wichtig]

15.02.2007, 19:47

Rabia

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Rentenaufgabe [war: Wachstumsaufgabe-sehr wichtig]

Hallo!

Ich könnt ihr mit bitte bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen?

Ein zum Jahresbeginn gewärhtes Bankdarlehn S0=200000 (in €) wird in festen Jahresbeträgen von 10000 € zurückgezahlt. Dieser Jahresbetrag ist am Ende jedes jahres fällig und enthält den Zins und die Tilgung. Der Zins beträgt 4% von das Jahr über vorhandenen Restschuld. Sn ist die Restschuld nach dem n-ten jahr

a) Berechne S1 und S2.

Mein Ansatz lautet folgendermaßen:

200000-(10000+10000 * 0,04)= S1

Eine kurze Erläuterung meinerseits:

200000 ist die obere Schranke, die wird ja immer weniger.
Wie im Text erläutert, muss jährlich 10000 € zurück gezahlt- deshalb wird von der oberen Schranke jeweils 10000€ und 10000*0,04 abgezogen.

Kann das sein?

15.02.2007, 20:08

Rabia

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bitte bitte hilft mir - traurig

traurig

15.02.2007, 23:24

Sargi

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Hallo. Der folgende Lösungsansatz ist der Einfachste, allerdings setzt er immer vorraus, dass das Restkapital des Vorjahres bereits ausgerechnet wurde:

Sn=Sn-1(1,04)-10.000

Sobald ich eine allgemeine Form habe, melde ich mich noch einmal.

16.02.2007, 08:23

klarsoweit

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RE: Wachstumsaufgabe-sehr wichtig

Zitat:

Original von Rabia
Mein Ansatz lautet folgendermaßen:

200000-(10000+10000 * 0,04)= S1

Unfug. Begründung unten.

Zitat:

Original von Rabia
200000 ist die obere Schranke, die wird ja immer weniger.

Der Begriff "obere Schranke" ist in diesem Zusammenhang fehl am Platz bzw. sinnlos.

Zitat:

Original von Rabia
Wie im Text erläutert, muss jährlich 10000 € zurück gezahlt- deshalb wird von der oberen Schranke jeweils 10000€ und 10000*0,04 abgezogen.

Gerade das steht im Text nicht. Dort steht, daß am Jahresende auf die Restschuld der Zins von 4% aufgeschlagen und dann die Rückzahlrate von 10000 € abgezogen wird. Die sich daraus ergebende Formel siehst du bei Sargi.

16.02.2007, 16:45

Rabia

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also, schon mal ein großes Dankeschön Freude

Freude

Sargi!

deine Formel is aber die rekursive Formel, oder?
Aber noch eine Verständnisfrage:

warum multipliziere ich den Startwert mit 1,04? warum nicht mit 0,04?

16.02.2007, 17:08

klarsoweit

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S_n = Restschuld
0,04 * S_n = Zinsen auf Restschuld (die kommen hinzu)
dann 10000 tilgen.

Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} S_{n+1} = S_n + 0,04 \cdot S_n - 10000 = 1,04 \cdot S_n - 10000 \end{eqnarray*}$

Mit etwas Nachdenken wärst du auch darauf gekommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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16.02.2007, 17:36

mYthos

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@Rabia:

1. Sehr wichtig ist alles hier Big Laugh

Big Laugh

2. Bitte keine Drängelposts
3. Thema keine Wachstumsaufgabe und nicht Analysis!

Titel geändert und *verschoben*

mY+

20.02.2007, 15:52

Rabia

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Sorry mythos, des kommt nicht mehr vor ..... smile

smile

(wusste nicht, dass wachstumsaufgaben nicht in den Bereich der Analysis gehört... verwirrt

verwirrt

)

Und vielen lieben dank für die Antwort. für's erste Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.02.2007, 16:07

Rabia

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diese nette aufgabe geht leider weiter.....

b) Die Differenzialgeichung B'(t)= -10000+0,04* B(t) beschreibt die Restschuld B näherungsweise. Die Funktion B mit B(t)= a+ b* e^(0,04t) ist für gewisse Zahlen a und b eine Lösung dieser Differnzialgleichung.
Bestimme a und b, wenn B(0)= 200000 ist.
Nach wie vielen Jahren ist also demnach das Dahrlehn getilgt?

Ich habe jetzt dank eurer Hilfe S1 und S2:

S1: 198000
S2: 195120 (<-- stimmt doch, oder????)

Jetzt habe ich mir überlegt, dass ich einfach für die Bestandsformel die Werte t=1 und B(1) einsetze.
Aber bei mir kommt immer ein Schmarn raus! Also, die Funktion beschreibt nicht diese Tilgung!!!!!!

21.02.2007, 01:45

mYthos

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Hallo Rabia,

weil du anfangs nur den Aufgabenteil a) gepostet hast, bei dem es lediglich um die Kapitalrückzahlung ging, habe ich das Thema dem Bereich Rentenrechnung zugeordnet. Erst jetzt kommt auch eine Wachstumskomponente hinzu (eigentlich ist es ja eine exponentielle Abnahme / Verminderung). Dazu ist zu bemerken, dass kaufmännisch bei Schuldtilgungen praktisch nicht die Exponentialfunktion zur Anwendung kommt, sondern der Zinsfaktor, das seh' ich hier zum ersten Mal..

Deine Überlegung mit dem Einsetzen für t = 1 und S1 = B(1) ist richtig, und da hast du dich offenbar verrechnet, denn ein Schmarrn dürfte da nicht herauskommen.

Aus B(0) = 200000 -> $\begin{eqnarray*} 200000 = a + b \end{eqnarray*}$
und
aus B(1) = 198000 -> $\begin{eqnarray*} 198000 = a + b \cdot e^{0.04} \end{eqnarray*}$

So, diese zwei Gleichungen sollten nun einwandfrei a (249006,67) und b (-49006,67) liefern.

Zur Kontrolle kann man noch mit t = 2 prüfen (195920 ist richtig!):

aus B(2) = 195920 -> $\begin{eqnarray*} 195920 = a + b \cdot e^{0.08} \end{eqnarray*}$

Wir erkennen dabei, dass die Approximation mit der e-Funktion nicht ganz genau ist.

Löse dies nun mal und sende deinen Rechengang, damit man den/die Fehler lokalisieren kann!

mY+

21.02.2007, 20:02

Rabia

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Also ich kann doch die beiden Gleichungen als LGS schreiben und dann addieren. Geschickt wäre hier das a rauszuwerfen.

Ich multipliziere die 2te Gleichungen mit *(-1) und dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} 200000 = a + b \end{eqnarray*}$ (1)
$\begin{eqnarray*} 198000 = a + b \cdot e^{0.04} *(-1) \end{eqnarray*}$ (2)

$\begin{eqnarray*} 2000= b - b \cdot e^{0.04} \end{eqnarray*}$

b ausklammern

$\begin{eqnarray*} 2000= b (1-e^{0.04}) \end{eqnarray*}$

dann teilen

$\begin{eqnarray*} 2000 : (1-e^{0.04}) = b \end{eqnarray*}$

dann den Wert für b in die erste Gleichung.
Dann nach a auflösen.

und wie hört sich das an? smile

smile

21.02.2007, 22:45

mYthos

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Hi!

Gewonnen! Das hört sich sogar sehr gut an, denn du bekommst damit das richtige b ... (wie schon in der Klammer angegeben).

mY+

24.02.2007, 14:48

Rabia

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Also stimmt die folgende Gleichung?:

$\begin{eqnarray*} B(t)= 249007-49007\cdot e^{0.04t} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das TABLE-Menü meines GTRs benutze, kommt für t=2 nicht der Wert f+ür S_2 von oben raus. traurig

traurig

Oh doch! nur es wurde nicht richtig gerundet! smile

smile

smile

24.02.2007, 14:53

Rabia

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jetzt noch zur letzten Teilaufgabe:

Wann ist der Darlehn getilgt?

Da nehm ich einfach mein GTR und lasse mir die Funtkion B(t zeichnen und ermittle mittels ROOT die Nullstelle.

Hier beträgt die Nullstelle (40,6/0); also nach ca. 41 Jahren ist das Darlehn getilgt.

warte auf Antworten! Wink

Wink

Dieses Board ist das Beste im Internet! Schon allein daraus, dass man hier Fragen stellt, versteht man alles etwas mehr......

25.02.2007, 00:24

mYthos

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Hi,

die Nullstelle der Funktion B(t) ist richtig, genau lautet sie 40,638

Bemerkung:
Darlehen werden in der Praxis kaum mit dieser Beziehung verrechnet, sondern mit den zugehörigen kaufmännischen Formeln (bzw. geometrischen Reihen).

Genaugenommen ist diese Art von Berechnung praktisch ein grober Unfug, weil sie sehr ungenau ist. Offenbar wollte der Autor diese Aufgabe gewaltsam auf eine Wachstumsfunktion hinbiegen und/oder sich mit der Differentialgleichung profilieren.

In Wahrheit beträgt nämlich die Rentendauer unter diesen Umständen 37,4 Jahre, daher würde ich bei einer Bank, die so wie zuvor rechnet, kein Darlehen aufnehmen! Man kann dies auch unter

http://www.zinsen-berechnen.de/entnahmeplan.php

nachprüfen!

mY+

25.02.2007, 14:53

Rabia

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Vonwegen praxisnah!! verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

die letzte frage lautet dann: Welche Funktion beschreibt den Restdarlehn nähreungsweise zum Zeitpunkt t?

Kann ich dass einfach so machen:

$\begin{eqnarray*} 200000 - B(t)= D(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D(t)= Restdarlehn \end{eqnarray*}$

25.02.2007, 23:23

mYthos

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Nein, das stimmt nicht, denn das Restdarlehen ist zu jedem Zeitpunkt t der Wert der Funktion B(t).

Also einfach B(t) = Restdarlehen

Du kannst dies ja sofort nachprüfen, dass deine Annahme nicht richtig ist, denn zum Zeitpunkt t = 0 muss das (Rest-)Darlehen ja noch 200000 Eur betragen und das tut es bei D(t) = 200000 - B(t) nicht, denn dieser Wert ist 0, im Gegensatz zu 200000, dessen Wert es haben müsste. Und bei t = 40,6 sollte es 0 sein, wäre aber demnach 200000.

mY+

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