Verschoben! Parametrische Kurve in normale Funktion umwandeln |
| 22.01.2013, 16:14 | Bollo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Parametrische Kurve in normale Funktion umwandeln Hallo Mathefreunde, ist es möglich eine parametrische Funktion, alla y(t) und x(t) in eine normale Funktion wie f(x) auflösen? Meine Ideen: |
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| 22.01.2013, 19:25 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus den beiden Parametergleichungen ist der Parameter t zu eliminieren. Dann bleibt nur noch eine Gleichung in x, y Beispiel: ------------------ Was ist das Endergebnis und um welche Kurve handelt es sich? mY+ |
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| 23.01.2013, 09:53 | Bollo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Heißt das ich muss nach t auflösen? Also eine Formel nach t umstellen und in die zweite einsetzen? Es handelt sich um cubische Polynome, also: x(t)=a*t^3 + b*t^2 + c*t + d y(t)=e*t^3 + f*t^2 + g*t + h Wenn ich jetzt nach t auflösen müsste, wäre das wohl ziemlich unüberschaubar 
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| 23.01.2013, 19:39 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, in diesem Fall bleibt nichts anderes übrig, wenn es - entgegen der Sachlage im angeführten Beispiel - keine Gemeinsamkeiten in den beiden allgemein gegebenen Termen gibt. Im Besonderen müssten die Polynome Ähnlichkeiten aufweisen. mY+ |
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| 25.01.2013, 11:22 | Bollo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wird es wahrscheinlich auf die Formel von Cardano hinauslaufen mathematik.ch/anwendungenmath/Cardano/FormelCardano.php Eine Frage hätte ich noch: ist es eigentlich sinnvoll eine der beiden gleichungen nach t aufzulösen und in die andere einzusetzen? Warauf ich hinaus will ist, was passiert wenn für ein x zwei oder mehr funktionswerte existieren? Das kommt bei parametrischen Funktionen ja öfters vor. |
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| 26.01.2013, 00:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In diesem Fall sind die Fälle getrennt zu behandeln und die Funktionen getrennt zu schreiben. Gegebenenfalls kann man diese wieder in eine implizite Form überführen. Ein Beispiel ist der - bereits angeführte - Mittelpunktskreis, dieser besteht aus einem oberen und unteren Halbkreis (beides sind getrennte Funktionen), implizit lautet dessen Gleichung dann . mY+ |
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| 12.02.2013, 18:57 | Bollo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab mich heute nochmal mit der Thematik beschäftigt. Verstehe aber noch nicht so ganz wie das klappen soll. Ich muss rein theoretisch das erste polynom nach t umstellen. Das wäre mit den Formel von Cardano möglich. Also sozusagen die Nullstellen berechnen. Wenn ich dies durchführe erhalte ich jedoch nur drei reelle Lösungen (bzw. auch komplexe Lösungen) ohne irgend einen unabhängigen/variablen faktor x ... wenn ich also t in das zweite Polynom 3. Grades einsetze, kann ich nur drei Punkte entsprechend der Nullstellen berechnen, da ich keinen wählbaren Funktionsterm mehr habe. Wenn ich also einsetze erhalte ich: t = z.b. 123 f(x)=a*t^3 + b*t^2 + c*t + d f(x)=a*(123)^3 + b*(123)^2 + c*(123) + d -> Das ergebnis ist ein Funktionswert, also ein Punkt P(t, y) Eigentlich möchte ich aber ein polynom 3. Grades mit variablem x erhalten, z.B.: f(x)=a*(123)*x^3 + b*(123)*x^2 + c*(123)*x + d Was ich damit sagen will ist, das durch die Formeln von Cardano das x eliminiert wird =( |
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| 13.02.2013, 23:59 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du bekommst nicht 3 Punkte, sondern 3 Funktionen, das ist der Unterschied. Sinnvoll ist das allerdings nur bei reellen Lösungen (!). Nehmen wir an, die erste Lösung der ersten Gleichung x = x(t) nach t ist t1(x). Dieses t1 wird nun anstatt t in die zweite Gleichung y = y(t) eingesetzt, somit entsteht eine Gleichung, allgemein geschrieben als y = y(t1(x)) --> y = f(x). Diese Gleichung stellt jetzt den gewünschten Zusammenhang zwischen x, y her, t ist ja inzwischen auch in der 2. Gleichung ersetzt worden. Nachdem es drei (reelle) Lösungen geben kann, wird es auch drei verschiedene Funktionsgleichungen geben. Das ist verständlich, denn implizite Funktionsgleichungen und auch solche in Parameterform müssen keineswegs eine (einzige) Funktion beschreiben, sie zerfallen meist in mehrere getrennte Einzelfunktionen. Siehe auch das Kreisbeispiel am Beginn des Fadens, denn der Vollkreis ist auch keine Funktion, sondern besteht vielmehr aus zwei Halbkreisen, von denen erst dann jeder eine Funktion darstellt. mY+ |
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| 14.02.2013, 10:13 | Bollo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi mYthos, ich danke dir für deine Unterstützung! Du hilfst mir echt weiter. Also das ich normalerweise drei Funktionen erhalten sollte leuchtet mir schon ein. Wenn ich eine Funktion x(t) habe und diese nach t umstelle, erhalte ich normalerweise t(x) und somit y(t(x)) Praktisch gesehen, weiß ich aber nicht wie du das meinst. Angenommen meine Ausgangsfunktion x(t) ist gleich dann erhalte ich jetzt für oder muss ich das x mit einsetzen? also Wenn ich das x nicht mit einsetze erhalte ich doch nur drei Nullstellen, ohne den variablen Wert x. Und wenn ich diese dann in y(t) einsetze, erhalte ich für f(x) jeweils einen Punkt. Also was ich nicht verstehe ist, was mit dem x passiert. Muss ich es in die Formel von Cardano mit einsetzen oder hänge ich es einfach an die berchneten Nullstellen mit ran? Du meinst die Umformung ist nur sinnvoll bei reellen Lösungen. Was ist, wenn ich komplexe Lösungen habe? Sind die Funktionsgleichungen nicht verwendbar? Kann man nur die Funktionen verwenden, bei denen man eine reelle Lösung einsetzt? Den letzten Satz verstehe ich wieder sehr gut, das es mehrere getrennte Einzelfunktionen geben kann. Vielen Dank! Gruß, Bollo |
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| 14.02.2013, 12:39 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist jedoch KEINE Funktion x(t) in t, wo ist denn diese Variable t? Es sollte sich anfangs doch um eine Parameterfunktion handeln. Du willst wahrscheinlich ausgehen von Und das muss nun nach t gelöst werden, nun dann prost! Bildvorschau z. vergr. klicken! [attach]28468[/attach] Die erste Lösung dann in die zweite Funktion y = y(t) einsetzen, das ergibt dann die (erste) Beziehung in x, y! Das muss man dann auch noch für die anderen beiden Lösungen machen. Das willst du dir aber nicht wirklich antun! Komplexe Lösungen sind auch verwendbar, ob sie dann - für die Eingangsfrage - sinnvoll sind, ist eine andere Sache. Meistens handelt es sich um (in R gegebene) reelle Funktionen. mY+ |
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