Abgeschlossene Kugel ist abgeschlossen

22.01.2013, 16:45

steviehawk

Abgeschlossene Kugel ist abgeschlossen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich versuche mich gerade an dem Standardbeweis, dass die abgeschlossene Kugel abgeschlossen ist. Ich möchte den Bweis so mache, dass ich zeige, dass das Komplement offen ist.

Sei also $\begin{eqnarray*} B_r(a) := \left\{ x \in E: |x-a| \leq r \right\} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ein normierter raum ist und $\begin{eqnarray*} |\cdot| \end{eqnarray*}$ die darin enthaltene Norm.

Das Komplement davon wäre ja: $\begin{eqnarray*} (B_r(a))^c := \left\{ x \in E: |x-a| > r \right\} \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} b \in (B_r(a))^c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in U_{\delta}(b) \end{eqnarray*}$ ich muss doch jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} (B_r(a))^c \end{eqnarray*}$ ist oder?

also setzte ich an:

$\begin{eqnarray*} |x-a| ... \end{eqnarray*}$ ich muss ja jetzt nach unten abschätzen oder?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!

EDIT: Auch wenn ich mir ab Bild logisch klar mache, dass ich nur $\begin{eqnarray*} \delta = |b-a| - r \end{eqnarray*}$ wählen muss, weiß ich einfach nicht, wie ich diese Abschätzung aufschreiben soll!

22.01.2013, 17:16

RavenOnJ

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RE: Abgeschlossene Kugel ist abgeschlossen

Zitat:

Original von steviehawk
Meine Frage:
..., dass die abgeschlossene Kugel offen ist.

Du meinst abgeschlossen. Davon abgesehen ist der Satz eigentlich eine Tautologie. Aber ich weiß, was du meinst.

Als erstes solltest du für dein b ein passendes $\begin{align*} \delta \end{align*}$ finden, so dass die $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung von b vollständig im Komplement der Kugel $\begin{align*} B_r(a) \end{align*}$ liegt.

22.01.2013, 17:18

steviehawk

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RE: Abgeschlossene Kugel ist abgeschlossen
ja das habe ich mir am Bild nun klar gemacht. Ich habe $\begin{eqnarray*} \delta = |b-a| - r \end{eqnarray*}$

22.01.2013, 17:18

RavenOnJ

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Sagt dir der Abstand eines Punktes von einer Menge etwas?

22.01.2013, 17:20

steviehawk

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nicht wirklich unglücklich

22.01.2013, 18:48

RavenOnJ

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Das ist das Infimum des Abstandes des Punktes zu allen Punkten aus der Menge. Formal:
Sei der Punkt b, die Menge A, dann ist der Abstand von b zu A definiert als

$\begin{eqnarray*} d(b,A) := \inf\{d(b,x)\lvert x\in A \} \end{eqnarray*}$

Du musst nun dein $\begin{align*} \delta \end{align*}$ so wählen, dass $\begin{align*} \delta < d(b,B_r(a)) \end{align*}$ gilt. Das bedeutet, kein Element von $\begin{align*} B_r(a) \end{align*}$ hat einen Abstand von $\begin{align*} b \end{align*}$ der $\begin{align*} \le \delta \end{align*}$ ist.

22.01.2013, 20:40

steviehawk

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Okay, ja das klingt schon logisch, vor allem, wenn man sich ein schönes Bild malt.

Aber kann ich denn jetzt irgendwie eine Ungleichung aufstellen, so dass ich es sauber da stehen habe? Wie ich mei Delta wählen muss sehe ich ja auch ohne den Abstand von einem Punkt zur Menge.

22.01.2013, 20:58

RavenOnJ

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Was gilt denn für jeden Punkt einer offenen Menge $\begin{align*} B \end{align*}$ in einem topologischen Raum, der hier sogar noch normiert ist? Er hat eine offene Umgebung, die vollständig in $\begin{align*} B \end{align*}$ enthalten ist. Wenn du also zu jedem $\begin{align*} b\in B \end{align*}$ eine offene Umgebung $\begin{align*} U\subset B \end{align*}$ findest, dann ist $\begin{align*} B \end{align*}$ offen. Es ging mir nur darum, zu zeigen, dass man immer ein $\begin{align*} \delta \end{align*}$ finden kann, sodass $\begin{align*} U_\delta(b)\subset B \end{align*}$ . Indem man $\begin{align*} \delta >0 \end{align*}$ so wählt, dass alle Punkte von $\begin{align*} A \end{align*}$ einen größeren Abstand als $\begin{align*} \delta \end{align*}$ zu $\begin{align*} b \end{align*}$ haben, ist sicher gestellt, dass $\begin{align*} U_\delta(b)\cap A=\emptyset \end{align*}$ . Dann ist $\begin{align*} B \end{align*}$ offen und $\begin{align*} B^c \end{align*}$ abgeschlossen. Mit $\begin{align*} B = A^c \end{align*}$ folgt also, dass $\begin{align*} A \end{align*}$ abgeschlossen ist.

Essentiell für die Konstruktion ist die Tatsache, dass es keinen Punkt $\begin{align*} b\in A^c \end{align*}$ gibt, der einen Abstand $\begin{align*} d(b,A)=0 \end{align*}$ hat.

23.01.2013, 10:09

steviehawk

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Okay, die Überlegungen verstehe ich denke ich soweit. Also ich kann mein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ angeben, so dass alles passt.

Muss ich mich also von der Idee verabschieden:

$\begin{eqnarray*} |x-a| \end{eqnarray*}$ abschätzen zu könne, so dass ich nachher so was habe wie:

$\begin{eqnarray*} |x-a| > ... = r \end{eqnarray*}$

dann hätte ich es analog zum Beweis: Eine offene Kugel ist offen da stehen. Das wäre schön gewesen.

Vielen Dank!

23.01.2013, 17:43

gonnabphd

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Lieber steviehawk,

So schnell solltest aber nicht aufgeben. Deine Idee war sehr gut, und was dir fehlt ist wichtig zu wissen! Folgende Ungleichung fehlt dir bisher, damit sollte es dann gehen:
$\begin{eqnarray*} |x-a|\ge |b-a| - |x-b| \end{eqnarray*}$

Das ist die umgekehrte Dreiecksungleichung und ist wirklich sehr nützlich (es ist im Prinzip die algebraische Version deines Bildchens). Zeigen kannst du das gleich selbst (schaffst du schon).

smile

23.01.2013, 20:11

steviehawk

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Yeahh, genau das hat mir gefehlt. Also ich fasse noch ein Mal zusammen.

Ich zeige, dass das Komplement der abgeschlossenen Kugel offen ist. Sei:

$\begin{eqnarray*} (B_r(a))^c = \left\{x \in E : |x-a| > r ...\right\} \end{eqnarray*}$ also dieses Komplement.

Sei weiter $\begin{eqnarray*} b \in (B_r(a))^c \end{eqnarray*}$ und für ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} U_{\delta}(b) \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ Umgebung von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Ist ist nun zu zeigen, dass diese Deltaumgebung komplett in $\begin{eqnarray*} (B_r(a))^c \end{eqnarray*}$ liegt.

Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nun aus $\begin{eqnarray*} U_{\delta} \end{eqnarray*}$ gewählt. Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} |x - a|= |x-a+b-b| \geq |b-a| - |x-b| > |b-a|- \delta = :r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \delta = |b-a| - r \end{eqnarray*}$ was mit dem geometrischen Bild übereinstimmt.

Ich glaube aber das ist der Ungleichungskette noch ein Fehler steckt. Es gilt ja offensichtlich nicht: $\begin{eqnarray*} |a+b| \geq |a-b| \end{eqnarray*}$ man findet leicht ein Zahlenbsp. das zeigt dass das nicht funktioniert. Was ich aber verwendet habe.

Wie kann ich mir klar machen, dass: $\begin{eqnarray*} |x-a| \geq |b-a| - |x-a| \end{eqnarray*}$ ich addiere ja zunächst die Null (+b-b).

Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} |x-a+b-b| = |b-a+x-b| \end{eqnarray*}$ jetzt muss ich ja auf die Inverse - Dreiecksungleichung kommen, die heißt ja: $\begin{eqnarray*} |x-y| \geq |x|-|y| \end{eqnarray*}$ Also ich muss ein Minus da rein kriegen.

Wie schaffe ich das?

EDIT: Ich sehe gerade auf Wiki: $\begin{eqnarray*} |x|-|y| \leq |x+y| \end{eqnarray*}$ hab das oben im Beweis verbessert, dann ist wohl jetzt alles klar!!! Danke!!!

24.01.2013, 11:23

gonnabphd

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Sieht gut aus.

Die umgekehrte Dreiecksungleichung folgt übrigens aus der Dreiecksungleichung durch blosses umschreiben:
$\begin{eqnarray*} |a-b|\le |x-b|+|x-a| \quad \implies \quad |x-b|\ge |a-b|- |x-a| \end{eqnarray*}$

Wink

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