Beschränktheit

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lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit
Hallo,
ich will folgende Funktion auf Beschränktheit untersuchen:



Ich hab jetzt erstmal die Funktion umgeschrieben, wegen dem Betrag:

für :

für:

Leider habe ich gerade keinen Plan, wie man das auf Beschränktheit untersuchen soll.

Kann mir da mal jemand bitte nen Tipp geben?

Gruß
Natalie
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit
Wieso Fallunterschiedung mit -1, wenn da |x| steht?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »







Gruß, therisen
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

@tigerbine:
Ich dachte, das hat was mit dem Definitionsbereich zu tun. Der Nenner darf ja nicht 0 werden.

@therisen:
Da hätte ich gleich 2 Fragen:
Warum setzt du die Funktion einfach in einen Betrag?
Und wie kommt man auf diese Beziehung:
?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Durch den Betrag wird er das ja auch nicht. Aber die Fallunterscheidung läuft mit 0.
Goki Auf diesen Beitrag antworten »

der Nenner ist ja in jedem Fall größer als der Zähler, also kann die schonmal nicht überschritten werden


und wenn du einsetzt, folgt



also der Nenner wird in keinem Fall smile
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lonesome-dreamer
Warum setzt du die Funktion einfach in einen Betrag?


Damit findet man gleichzeitig eine obere als auch untere Schranke (man kommt also um eine Fallunterscheidung herum). Denn gilt , so auch .


Gruß, therisen
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Und das heißt dann, dass die untere Schranke -1 und die obere Schranke +1 ist, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau genommen:
... dass eine untere Schranke -1 und eine obere Schranke +1 ist.

-2 bzw. +2 sind auch Schranken. Augenzwinkern
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist -1 das Infimum, größte untere Schranke, und +1 das Supremum, kleinste obere Schranke?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das trifft in diesem Fall zu. Aber sauber bewiesen ist das noch nicht Augenzwinkern
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wird das denn sauber bewiesen?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, dass die Funktion stetig und streng monoton wachsend ist sowie .

EDIT: Das setzt aber ein wenig Analysis voraus Augenzwinkern
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Also, um zu beweisen, dass die Funktion streng monton wachsend ist, habe ich sie abgeleitet:

, also streng monoton wachsend.

Den Grenzwert habe ich wie folgt berechnet:


Hab dabei aber ein schlechtes Gefühl, weil ich mir nicht sicher bin, ob ich das mit den Beträgen richtig gemacht habe. Und außerdem komme ich ja nur auf +1, nicht aber auf -1.

Wie ich die Stetigkeit zeigen soll, weiß ich leider auch nicht.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist leider alles falsch. Schon mal was von der Quotientenregel gehört?

Desweiteren empfiehlt es sich, die Fälle und zu unterscheiden.


Gruß, therisen
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber jetzt:

für :




für:



Passt das jetzt so?
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Stetigkeit hab ich mir nun folgendes überlegt:

.
Und das bedeutet, dass die Funktion stetig ist.

Reicht das als Beweis aus?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lonesome-dreamer
für :



für:



Und was genau soll das bringen? Es ist für . Außerdem sollst du für nur berechnen.

Dein "Stetigkeitsbeweis" ist für mich auch fraglich. Zeige, dass links- und rechtsseitiger Grenzwert in übereinstimmen.


Gruß, therisen
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lonesome-dreamer

für :




für:





Ja, da hab ich bei dem wohl geschlafen.
Und ich hätte noch dazu schreiben sollen, dass das, was da steht, schon die Terme sind, nachdem ich die Quotientenregel angewandt habe.

Meinst du das mit dem links- und rechtsseitigen Grenzwert so:




?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Quotientenregel? Du sollst doch nicht die Limites der Ableitungsfunktion für berechnen!

Nein, ich zeige dir mal den rechtsseitigen Grenzwert:



Denn für .

Gruß, therisen
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Schon mal was von der Quotientenregel gehört?

Was hast du dann damit gemeint?
Ich hab das Quotientenkriterium benutzt und bin dann auf +1 bzw. -1 als Grenzwerte gekommen.

Und der linksseitige Grenzwert geht dann so:

oder?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, endlich ist mal was richtig (d.h. der linksseitige Grenzwert).

Wenn du die Funktion ableiten willst, empfiehlt es sich, die Quotientenregel zu verwenden (nicht Quotientenkriterium). Aber für die Bestimmung von ist das absolut unnötig!!


Gruß, therisen
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Aber für die Bestimmung von ist das absolut unnötig!!

Wie könnte man das denn sonst machen?
Aber im Prinzip ist es doch nicht falsch, wenn man dafür das Quotientenkriterium verwendet, oder?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das Quotientenkriterium ist nur für Reihen! Siehst du hier etwa eine Reihe? Ich nicht.

Wie man es sonst macht? So, wie man es in der 11. Klasse (hoffentlich) gelernt hat: .
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
.


Das hab ich doch so gemacht. Naja, in etwa. Ich hatte nur mit dem Betrag meine Probleme:

Zitat:
Original von lonesome-dreamer





Jetzt hab ich's aber verstanden. Vielen Dank für deine Hilfe.

Gruß
Natalie
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