Charakteristisches Polynom von Matrix A

22.01.2013, 18:50

jfkls

Charakteristisches Polynom von Matrix A

Meine Frage:
Gegeben sei die folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ -5 & 2 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} p(\lambda) \end{eqnarray*}$ , dass charakteristische Polynom von A, gegeben ist durch: $\begin{eqnarray*} p(\lambda) = -\lambda^3 -\lambda^2 + 2\lambda \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo smile

Ich hatte folgendes gedacht: $\begin{eqnarray*} p(\lambda) = det(\lambda E_n -A) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} det(\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ -5 & 2 & -4 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda - 2 * \begin{vmatrix} \lambda -1 & -3 \\ -2 & \lambda + 4 \end{vmatrix} - (-3) * \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -2 & \lambda + 4 \end{vmatrix} + 5 * \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ \lambda - 1 & -3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bekommen nun allerdings wenn ich das alles auflöse folgendes Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \lambda^3 + \lambda^2 - 6 \lambda + 4 \end{eqnarray*}$

Ist das erste mal das ich mit einer solchen Aufgabe zu tun habe.
Was habe ich falsch gemacht? smile

22.01.2013, 19:14

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RE: Charakteristisches Polynom von Matrix A
In der Entwicklung habe ich, abgesehen von der fehlenden Klammer um $\begin{eqnarray*} \lambda -2 \end{eqnarray*}$ , keinen Fehler gesehen, also wird es wohl beim Auflösen passiert sein. Und du wirst das Polynom -p herausbekommen.

22.01.2013, 19:28

jfkls

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$\begin{eqnarray*} (\lambda -2) * (((\lambda -1)(\lambda+4))-6) + 3(3(\lambda + 4)-2)+5(-9*(-\lambda+1)) \end{eqnarray*}$

Ist die erste Zeile denn noch korrekt?

22.01.2013, 19:52

telli

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RE: Charakteristisches Polynom von Matrix A

Zitat:

Dein Ansatz stimmt.

Ich komme bei meiner Rechnung jedoch auf: $\begin{eqnarray*} p(\lambda)=\lambda^3 + \lambda^2-2\lambda \end{eqnarray*}$ und nicht auf $\begin{eqnarray*} p(\lambda)=-\lambda^3 - \lambda^2+2\lambda \end{eqnarray*}$
Für die Eigenpaare spielt das keine Rolle, da man das Polynom gleich null setzt aber ob das mathematisch korrekt ist bin ich mir nicht so sicher.

22.01.2013, 19:57

telli

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RE: Charakteristisches Polynom von Matrix A

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (\lambda -2) * (((\lambda -1)(\lambda+4))-6) + 3(3(\lambda + 4)-2)+5(-9*(-\lambda+1)) \end{eqnarray*}$ Ist die erste Zeile denn noch korrekt?

Nein, da kommt $\begin{eqnarray*} \lambda^3+\lambda^2+38\lambda+5 \end{eqnarray*}$ raus.

22.01.2013, 20:04

jfkls

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hmmmm.... ist denn dann wenigstens das hier als erste Zeile korrekt?

$\begin{eqnarray*} (\lambda - 2) * (((\lambda - 1) * (\lambda + 4)) - ((- 2) * (-3))) + 3 * ((3 * (\lambda + 4)) * ((-2) * (-1))) + 5 * ((3 * (-3)) * ((\lambda - 1) * (-1))) \end{eqnarray*}$

22.01.2013, 20:13

telli

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Zitat:

Leider auch nicht..

22.01.2013, 20:23

jfkls

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Ok, dann ist jetzt klar, dass ich zu doof für die ganze Sache bin....

Ich dachte bei einer 3 x 3 Determinante geht man so vor:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 &1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} <br /> det(A) = 1 * \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 2 * \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 3 * \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

und das man $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ so auflöst (a * d) - (b * c)

22.01.2013, 21:13

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alles richtig Freude

also nicht zu doof, du hast nur zwei Flüchtigkeitsfehler gemacht

Zitat:

Original von jfkls
$\begin{eqnarray*} (\lambda - 2) * (((\lambda - 1) * (\lambda + 4)) - ((- 2) * (-3))) + 3 * ((3 * (\lambda + 4)) {\color{red}-} ((-2) * (-1))) + 5 * ((3 * (-3)) {\color{red}-} ((\lambda - 1) * (-1))) \end{eqnarray*}$

22.01.2013, 21:43

jfkls

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Danke

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