Zufallsvariablen und Stichproben

22.01.2013, 20:27

deppensido

Zufallsvariablen und Stichproben

hallo,

kann bitte jemand prüfen, ob meine Lösung zur Aufgabe 7b) korrekt ist?

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} E(S^2) = E( \frac 1 {n-1} * \sum_{i=1}^n (X_i - X^2)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac 1 {n} * E(\sum_{i=1}^n (X_i - X)^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac 1 {n} * \sum_{i=1}^n E((X_i - X)^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac 1 {n} * \sum_{i=1}^n E((X_i - (\frac 1 {n} * \sum_{i=1}^n X_i))^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac 1 {n} * \sum_{i=1}^n (E(X_i - E(X_i))^2) \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} E(X) = E(\frac 1 {n} * \sum_{i=1}^n X_i) = E(X_i) \end{eqnarray*}$ (in einer anderen Aufgabe gezeigt)

$\begin{eqnarray*} = \frac 1 {n} * \sum_{i=1}^n V(X_i) = \frac {n*V(X_i)} {n} = V(X_i) \end{eqnarray*}$

vielen Dank schon mal. Grüße

23.01.2013, 00:05

dinzeooo

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RE: Zufallsvariablen und Stichproben
nope, leider nicht korrekt.

z.b. wie begründest du diesen schritt?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E( \frac 1 {n-1} * \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2) = \frac 1 {n} * E(\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2) \end{eqnarray*}$

oder diesen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = \frac 1 {n} * \sum_{i=1}^n E((X_i - (\frac 1 {n} * \sum_{i=1}^n X_i))^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac 1 {n} * \sum_{i=1}^n (E(X_i - E(X_i))^2) \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} E(X) = E(\frac 1 {n} * \sum_{i=1}^n X_i) = E(X_i) \end{eqnarray*}$ (in einer anderen Aufgabe gezeigt)

du verwendest hier

$\begin{eqnarray*} \overline{X}=E(X_i) \end{eqnarray*}$

statt

$\begin{eqnarray*} E(\overline{X}) = E(\frac 1 {n} * \sum_{i=1}^n X_i) = E(X_i) \end{eqnarray*}$

es gibt vermutlich viele möglichkeiten deine aufgabe zu lösen, eine ist diese variante:

$\begin{eqnarray*} E( \frac 1 {n-1} * \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2) =E( \frac 1 {n-1} * \sum_{i=1}^n (X_i -\mu+\mu- \overline{X})^2)=\dots \end{eqnarray*}$

23.01.2013, 11:44

HAL 9000

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Link: Beweisskizze zur Erwartungstreue des Varianzschätzers

28.01.2013, 21:47

deppensido

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hallo,

ich hab gerade erst gesehen, dass ich auf diesen Post eine Antwort bekommen habe. Wenn mein aktueller Übungszettel durch ist, werde ich in Bezug auf die Klausurvorbereitung mir diese Aufgabe nochmal zu widmen.

Grüße

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Zufallsvariablen und Stichproben

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