Vektorgleichung und Vektoranordnung

22.01.2013, 22:07

arti8

Vektorgleichung und Vektoranordnung

Aufgabenstellung:
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ seien zwei Einheitsvektoren, die einen Winkel 60° einschließen.
Stehen die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{x}=2\vec{a}-3\vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{y}=4\vec{a}+\vec{b} \end{eqnarray*}$ senkrecht aufeinander ?

Man bestimme $\begin{eqnarray*} | \vec{x} | , | \vec{y} | \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} | \vec{x}-\vec{y} | \end{eqnarray*}$ .

Lösungen: $\begin{eqnarray*} \vec{x}\perp \vec{y} \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \vec{x}*\vec{y}=0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} | \vec{x} | = \sqrt{7} , | \vec{y} |=\sqrt{21} , | \vec{y}-\vec{x} |=2\sqrt{7} \end{eqnarray*}$

Ich habe also $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ welche Einheitsvektoren sien sollen. also ist $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Mit dem Winkel kann ich leider nicht anfangen.

Ich weiß das wenn man 2 Vektoren miteinander multipliziert und diese einen Nullvektor ergeben sind die Vektoren senkrecht aufeinander.
Doch ich weiß nicht was ich mit dem Winkel anstellen soll ? Und wie ich die Vektorgleichungen einsetzte. Vermutlich hat der Winkel einen Einfluß auf die Bestimmung der Einheitsvektoren sodass $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ falsch ist wie ich erst angenohmen habe ?

Weil die Gleichungen müssen ja nachher multiplitziert den "0" ergeben. Ich glaube wenn ich ich die Einheitsvektoren bestimmen kann dann habe ich mit dem Rest auch keine größeren Schwierigkeiten.

Bitte um Hilfe.

22.01.2013, 22:25

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RE: Vektorgleichung und Vektoranordnung

Zitat:

Original von arti8
Ich habe also $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ welche Einheitsvektoren sien sollen. also ist $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst du denn auf diese beiden Vektoren? Du weißt doch nur, dass es Einheitsvektoren sind.

Wie hängt denn der Winkel zwischen a und b mit dem Skalarprodukt zusammen?

22.01.2013, 22:37

arti8

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RE: Vektorgleichung und Vektoranordnung
meinst du:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha= \frac{\vec{a} * \vec{b}}{| \vec{a} | * | \vec{b} | } \end{eqnarray*}$

Da müsste ich ja vorher aber trotzdem die Einheitsvektoren kennen.

Also ist das Hauptproblem die Einheitsvektoren zu bestimmen doch wie wenn ich soviele Unbekannte habe ?
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ setzt sich aus z.B. ax * ex zusammen. Hilft mir aber nicht weiter oder ?

22.01.2013, 22:49

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RE: Vektorgleichung und Vektoranordnung
Genau die Formel meinte ich Freude

Du kannst die Vektoren a und b aus den gegebenen Informationen überhaupt nicht konkret bestimmen. Das Gute ist, dass du das auch nicht brauchst Big Laugh

Setz doch mal für den Anfang in $\begin{eqnarray*} \vec{x}*\vec{y} \end{eqnarray*}$ die Definition von x und y ein und multipliziere aus.

22.01.2013, 23:14

arti8

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RE: Vektorgleichung und Vektoranordnung
ok. also dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha= \frac{8\vec{a}^2-10\vec{a}\vec{b}-3\vec{b}^2}{| \vec{x} | * | \vec{y} | } \end{eqnarray*}$

soll ich nun den betrag von x errechenn ?

also mit: $\begin{eqnarray*} | \vec{x} |= \sqrt{\vec{x}*\vec{x}} \end{eqnarray*}$ ???

Dann hätte ich nur noch die Unbekannte von Vektor "y".

22.01.2013, 23:41

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RE: Vektorgleichung und Vektoranordnung
Also ich weiß jetzt nicht, wie man das

Zitat:

Original von URL
Setz doch mal für den Anfang in $\begin{eqnarray*} \vec{x}*\vec{y} \end{eqnarray*}$ die Definition von x und y ein und multipliziere aus.

falsch verstehen kann unglücklich

Sei es drum: Ich wollte auf
$\begin{eqnarray*} \vec{x}*\vec{y}=8\vec{a}^2-10\vec{a}*\vec{b}-3\vec{b}^2 \end{eqnarray*}$ hinaus.
Was ist jetzt $\begin{eqnarray*} \vec{a}^2, \vec{b}^2 \end{eqnarray*}$ ?
Für $\begin{eqnarray*} \vec{a}*\vec{b} \end{eqnarray*}$ kannst du jetzt die Winkelformel $\begin{eqnarray*} cos\alpha= \frac{\vec{a} * \vec{b}}{| \vec{a} | * | \vec{b} | } \end{eqnarray*}$ ins Spiel bringen.

23.01.2013, 20:29

arti8

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RE: Vektorgleichung und Vektoranordnung
ok also $\begin{eqnarray*} \vec{a}^2 \end{eqnarray*}$ ist wenn man die Wurzel draus zieht ja der Betrag von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ .

Wenn das mit der Frage gemeint war, ansonsten bin ich immernoch ratlos wie ich weiter vorgehen muss.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}*\vec{y}=8\vec{a}^2-10\vec{a}*\vec{b}-3\vec{b}^2 \end{eqnarray*}$

Muss ich da nach $\begin{eqnarray*} \vec{a}*\vec{b} \end{eqnarray*}$ umstellen und die Definition in die Formel $\begin{eqnarray*} cos\alpha= \frac{\vec{a} * \vec{b}}{| \vec{a} | * | \vec{b} | } \end{eqnarray*}$ einfügen ?
Was passiert mit $\begin{eqnarray*} \vec{x}*\vec{y}=..... \end{eqnarray*}$ kann die ja nicht einfach wegstreichen oder ?

Iwie find ich die Aufgabe ziemlcih kompliziert. komme einfach nicht drauf wie ich zu den Lösungen kommen soll.

24.01.2013, 10:02

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RE: Vektorgleichung und Vektoranordnung
Du sollst doch herausfinden, ob x und y senkrecht aufeinander stehen. Deswegen sollst du doch gerade das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{x}*\vec{y} \end{eqnarray*}$ berechnen. Du musst jetzt nur noch die Informationen aus der Aufgabenstellung in $\begin{eqnarray*} \vec{x}*\vec{y}=8\vec{a}^2-10\vec{a}*\vec{b}-3\vec{b}^2 \end{eqnarray*}$
einsetzen.

Wie groß ist denn der Betrag von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} \vec{a}*\vec{b} \end{eqnarray*}$ beschaffst du dir aus $\begin{eqnarray*} cos\alpha= \frac{\vec{a} * \vec{b}}{| \vec{a} | * | \vec{b} | } \end{eqnarray*}$
Wie groß ist der Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?

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