GLS mit Parameter

23.01.2013, 11:43

kicker_nadja

GLS mit Parameter

Meine Frage:
Für welche Werte von a und b hat das Gls
I)genau eine
ii) unendlich viele
iii)keine Lösungen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b \\ 4 \\ -b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe jetzt das Gls mit Gauß aufgelöst jedoch ist mein Parameter a komplett weggefallen...
Meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
kann mir jmd weiterhelfen?

23.01.2013, 12:07

klarsoweit

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RE: GLS mit Parameter

Zitat:

Original von kicker_nadja
Ich habe jetzt das Gls mit Gauß aufgelöst jedoch ist mein Parameter a komplett weggefallen...

Das kann ich mir ehrlich gesagt nicht vorstellen. Wie hast du denn umgeformt?

23.01.2013, 13:05

kicker_nadja

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1/a & -1/a \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1+1/a & -1/a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b/a \\ 2 \\ -b+b/a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ [ hab erst die I :a, dann die III+I und dann die II :2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1/a &-1/a \\ 0 &1 & -1 \\0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b/a \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ da hab ich III +II, dann III *a und dann III-II gerechnet

dann hab ich noch die I/a und somit fällt a dann ganz raus, oder soll ich den schritt einfach weglassen?

(die angaben hinter der matrix, zeigen immer die schritte wie ich nacheinander auf die matrix gekommen bin)

23.01.2013, 13:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von kicker_nadja
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1/a &-1/a \\ 0 &1 & -1 \\0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b/a \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ da hab ich III +II, dann III *a und dann III-II gerechnet

Ich kann das leider immer noch nicht nachvollziehen. Im übrigen darfst du durch a nur dann dividieren, wenn a ungleich Null ist.

23.01.2013, 14:08

HAL 9000

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Grundrezept, wenn man ein Gleichungssystem mit Parametern in der Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform bringen will:

Wenn irgend möglich, Fallunterscheidungen vermeiden bzw. so lange wie irgend möglich hinauszögern - und Divisionen wie hier durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ machen eine Fallunterscheidung notwendig! Vielfach reicht es schon, Zeilen und/oder Spalten geeignet zu vertauschen. Bei letzterem (also Spaltentausch) muss man aber berücksichtigen, dass dann auch die zugehörigen Unbekannten ihre Position tauschen.

Am Beispiel: Vertauschung von zweiter und dritter Gleichung; Division der dann dritten Zeile durch 2; Subtraktion der dritten von der ersten Zeile ergibt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b-2 \\ -b \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist auch eine Zeilenstufenform, wenn auch nicht in der schulbuchkonform üblichen Lage. Augenzwinkern

23.01.2013, 15:12

kicker_nadja

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ok, hab das jetzt so gemacht, jetzt versuch ich gleich mal die lösungen zu finden

23.01.2013, 15:19

kicker_nadja

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ist hier mein x1: x1, a, oder ax1?

24.01.2013, 08:06

klarsoweit

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Ähh, verstehe die Frage nicht. verwirrt

24.01.2013, 10:32

Dopap

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Als Gleichung ausgeschrieben steht doch:

$\begin{eqnarray*} a\cdot x_1=b-2 \end{eqnarray*}$ da.

Unschwer lässt sich jetzt $\begin{eqnarray*} x_1 =... \end{eqnarray*}$ bestimmen

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