Partialbruchzerlegung

23.01.2013, 14:08	cundula	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung Meine Frage: Finde einen geschlossenen Ausdruck für die <Glieder der Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb{N}_0} \end{eqnarray}$ die der Rekursion $\begin{eqnarray} a_n = 6 a_{n-1} - 4a_{n-2} \end{eqnarray}$ mit den Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray} a_0 =1, a_1=3 \end{eqnarray}$ genügt. Meine Ideen: hallo Sei $\begin{eqnarray} a(z):= \sum_{n\ge 0} a_n z^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n = 6 a_{n-1} - 4a_{n-2} \end{eqnarray}$ summieren und multipl mit z^n <=> $\begin{eqnarray} \sum_{n\ge 2} a_n z^n = 6 \sum_{n\ge2}a_{n-1} z^n - 4 \sum_{n\ge 2} a_{n-2} z^n \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \sum_{n\ge 2} a_n z^n = 6z \sum_{n\ge2}a_{n-1} z^{n-1} - 4 z^2 \sum_{n\ge 2} a_{n-2} z^{n-2} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \sum_{n\ge 2} a_n z^n = 6z \sum_{n\ge1}a_{n} z^{n} - 4 z^2 \sum_{n\ge 0} a_{n} z^{n} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} a(z) -1 - 3z = 6z a(z) - 6z - 4z^2 a(z) \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} a(z)=\frac{-3z+1}{1-6z+4z^2} \end{eqnarray}$ Wie finde ich nun den richtigen Nenner zur Partialbruchzerlegung? die Nullestellen von $\begin{eqnarray} 1-6z+4z^2 \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{8} \end{eqnarray}$
28.01.2013, 12:02	Jello Biafra	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung Bis jetzt ist alles richtig. Mit dem Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{1-3x}{4x^2-6x+1}=\frac A{2x-\frac{3+\sqrt{5}}2}+\frac B{2x-\frac{3-\sqrt{5}}2} \end{eqnarray}$ solltest Du nun zu $\begin{eqnarray} A=-\frac{3+\sqrt{5}}4 \text{ und } B=\frac{\sqrt{5}-3}4 \end{eqnarray}$ gelangen, was dann letztendlich zur expliziten Vorschrift $\begin{eqnarray} a_n=\frac 12\left(\left(\frac 4{3+\sqrt{5}}\right)^n+\left(\frac 4{3-\sqrt{5}}\right)^n\right) \end{eqnarray}$ führt.

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