Komplexe quadratische Gleichung

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23.01.2013, 17:21	nissle	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe quadratische Gleichung Hi all, eigentlich kann ich so mit komplexen Zahlen gut umgehen ,doch bei dieser Aufgabe von meinem Prof. find ich iwie keinen Ansatz : (1+j)z^2 + (1-j)z + 4 - 2j=0 wie geht man hier ran?
23.01.2013, 17:45	sile5000	Auf diesen Beitrag antworten »
zum Verständnis: mit j meinst i ? Wenn das der Fall ist, teile den Term doch mal durch (1+i). Du wirst dann in der Mitte einen Term mit (1-i)/(1+i) finden. Das kannst du in einen ziemlich schönen Term umformen, indem du diesen Bruch mit (1-i) im Zähler und im Nenner erweiterst. (du kannst es ausrechnen oder die Binomischen Formeln anwenden =D) Dann steht vor dir eine schöne quadratische Gleichung, die du mit quadratischer Ergänzung umformen kannst. Hinweis: Ich habs noch nicht durchgerechnet, aber so auf den ersten Blick sieht das ganz hoffnungsvoll aus =)
23.01.2013, 17:48	nissle	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau i=j
23.01.2013, 17:55	nissle	Auf diesen Beitrag antworten »
also meinst du das in etwa so : $\begin{eqnarray} z^{2}+\frac{(1-j)}{(1+j)}z+\frac{4}{(1+j)}-\frac{2j}{(1+j)}=0 \end{eqnarray}$
23.01.2013, 18:06	sile5000	Auf diesen Beitrag antworten »
genau=) und dann erweiterst alle Brüche mit (1-i)
23.01.2013, 18:42	nissle	Auf diesen Beitrag antworten »
ja klappt ganz gut, ausser das ich nicht weiss wie ich nachher die pq formel löse, da würde nachher stehen : $\begin{eqnarray} \frac{i}{2}\pm \sqrt{(\frac{i}{2})^{2}-(1-3i) } \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} (\frac{i}{2})^{2} \end{eqnarray}$ kann man ja als -1/4 schreiben weil i²=-1 aber wie ich da dann die wurzel draus ziehe hmmmm^^ also : $\begin{eqnarray} \sqrt{-\frac{5}{4}+3i} \end{eqnarray}$
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23.01.2013, 19:04	sile5000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht ja schon ganz gut aus =D du musst sozusagen die binomische formel rückwärts machen. Damit du ein Quadrat unter der Wurzel hast und diese sich so auflöst. In diesem Fall ist der mittlere Teil der binomischen Formel also 3i. Die binomische Formel (weiß grad nicht welche Nummer die hat) ist ja: $\begin{eqnarray} (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \end{eqnarray}$ das heißt also $\begin{eqnarray} ab =\frac {3}{2} i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a²+b² = \frac {-5}{4} \end{eqnarray}$ Damit hast du zwei Gleichungen, die du nach a oder b auflösen kannst. Ich mein man kann auch einfach drauf los raten. Meistens ist eins von den Teilen 1, aber hier hast du es mal mit System =)
23.01.2013, 19:21	nissle	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich jetzt nach a auflöse hab ich ja $\begin{eqnarray} a=(\frac{\frac{3}{2}i)}{b}) \end{eqnarray}$ oder wie meinst du das?
23.01.2013, 19:24	sile5000	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau.
23.01.2013, 19:27	nissle	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, verstehe aber nicht was das bringt, a und b sind doch beides unbekannte oder nicht?
23.01.2013, 19:33	sile5000	Auf diesen Beitrag antworten »
japp aber du hast doch noch die zweite gleichung: $\begin{eqnarray} a²+b² = \frac {-5}{4} \end{eqnarray}$ da kannst du dann einsetzen. Im Prinzip bekommst du wieder eine quadratische Gleichung. zwar mit ^4, aber da kannst du dann für b^2=s z.B. setzen und dann hast du wieder eine quadr. Gleichung. Du musst am Ende von dem Ergebnis nur die Wurzel nochmal ziehen.
23.01.2013, 19:35	nissle	Auf diesen Beitrag antworten »
achso ok hätte nicht gedacht das es sooooo kompliziert wird
23.01.2013, 19:39	sile5000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ist aufwendig... Mathe ist ein Fach, in dem man immer wieder vor ner Wand steht. (Hausgemachte Probleme würd ich das mal nennen g) Ich schätz mal deswegen wird dein Prof die auch gestellt haben =D Man kann wie gesagt auch raten und gucken, ob was richtiges rauskommt bei der Binomischen Formel, aber das wird bei schwierigeren Dingern halt schwieriger. So hast du jetzt n System, was du immer auf diesen Typus anwenden kannst. Du wirst für a oder b jenachdem wie rum du aufgelöst hast, ja auch zwei Ergebnisse bekommen. Wenn du das eine Ergebnis wieder einsetzt in die Formel, sollte dann das andere rauskommen. Man sollte ja für a und b verschiedene Ergebnisse rauskriegen, aber es ist ja letztendlich egal, ob ich nach a oder b am Anfang umstelle - hoffe das war verständlich ausgedrückt =) Das heißt man muss nicht einsetzen, aber ist ne gute Kontrolle.
23.01.2013, 19:52	sile5000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Überblick nochmal: dieses Gerechne mit a und b dient am Ende dazu, um zu sagen: $\begin{eqnarray} z=\frac{i}{2}\pm \sqrt{-\frac{5}{4}+3i} =\frac{i}{2}\pm \sqrt{(a+b)^2} =\frac{i}{2}\pm (a + b) \end{eqnarray}$
23.01.2013, 20:08	nissle	Auf diesen Beitrag antworten »
ok alles klar , danke für deine mühe ich werds mal versuchen :P

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