Obergrenze für Varianz einer beliebigen Zufallsvariable in Intervall

23.01.2013, 20:00	decrux	Auf diesen Beitrag antworten »
Obergrenze für Varianz einer beliebigen Zufallsvariable in Intervall Hallo matheboard, die Aufgabe vor der ich sitze lautet: Man zeige, dass $\begin{eqnarray} Var(X) \leq \left(\frac{b - a}{2}\right) ^{2} \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass die Gleichverteilung eine kleine Varianz als dieses Maximum hat und es erscheint mir auch irgendwie einleuchtend, dass ich als maximale Varianz den Abstand zur Mitte des Intervalls zum Quadrat erhalte, aber abgesehen von der Integraldefinition der Varianz fehlt mir jeder Ansatz. Gruß decrux
23.01.2013, 20:15	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Obergrenze für Varianz einer beliebigen Zufallsvariable in Intervall Was ist b und was ist a? Für allgemeine Zufallsvariablen hat das keinen Sinn, die Normalverteilung ist auf den ganzen reellen Zahlen definiert.
23.01.2013, 20:16	decrux	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X: \Omega \to \left[a, b\right] \end{eqnarray}$ hätte ich dazusagen müssen.
23.01.2013, 22:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ziemlich einfach: Zunächst mal ist bekannt (bzw. schnell nachweisbar), dass $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(X) = E((X-E(X))^2) \leq E((X-c)^2) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} c\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ gilt, insbesondere gilt das auch für $\begin{eqnarray} c=\frac{a+b}{2} \end{eqnarray}$ . Berücksichtigt man außerdem $\begin{eqnarray} \left\| x - \frac{a+b}{2} \right\| \leq \frac{b-a}{2} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in [a,b] \end{eqnarray}$ , dann sind schon alle Messen gesungen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »