lineare Optimierung, Deckungsbeitrag

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23.01.2013, 21:23	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Optimierung, Deckungsbeitrag Meine Frage: Hi, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: Auf zwei Produktionsanlagen sollen die zwei Produkte A und B in den Mengen x_1 und x_2 hergestellt werden. Die beiden Anlagen haben einen tägliche Kapazität von höchstens 18 bzw. 20 Stunden. Die Bearbeitungsdauer der Produkte A beatragen 0,5 Stunden bei Anlage1 und 1,5 Stunden bei Anlage2. Für Produkt B 1 Stunde bei Anlage1 und 0,5 Stunden bei Anlage2. Der Deckungsbeitrag beträgt 4Euro je Produkt A und 5Euro bei Produkt B. Wie hoch ist der größtmögliche Deckungsbeitrag und bei welcher Mengenkombination wird er erreicht? Meine Ideen: Ich habe jetzt erstmal die Bedingungen und Zielfunktion aufgestellt: Produkt A = x_1 Produkt B = x_2 Kapazität1 = y_1 Kapazität2 = y_2 $\begin{eqnarray} x_1, x_2\geq 0<br /> y_1\leq 18<br /> y_2\leq 20<br /> <br /> y_1=0,5x_1+x_2<br /> y_2=1,5x_1+0,5x_2<br /> <br /> DB(x)=4x_1+5x_2\rightarrow\text{max} \end{eqnarray}$ Leider weiß ich nicht genau wie ich dies nun effizient maximieren kann und würde mich über Hilfe freuen. Vielen Dank im Voraus. Mfg
23.01.2013, 22:18	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, man maximiert den Deckungsbeitrag, indem man sich die relativen Deckungsbeiträge anschaut. db(i,j) = Deckungsbeitrag des Produkts i pro Maschinenstunde der Maschine j. So ist der $\begin{eqnarray} db(A,1)=\frac{4 \in}{0,5 h}=\frac{8 \in}{h} \end{eqnarray}$ Das muss man jetzt vergleichen mit db(B,1). Das Produkt, welches auf Maschine 1 den höheren relativen Deckungsbeitrag sollte auf Maschine 1 gefertigt werden. Äquivalent geht man bei Maschine 2 vor. So kannst du deine Zielfunktion maximieren.
23.01.2013, 22:18	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Rahmen der Schulmathematik sollte eine graphische Lösung reichen. Zeichne die vier Halbräume und bilde deren Schnitt. Das ist der zulässige Bereich über den Du dann die Zielfunktion maximieren kannst.
23.01.2013, 22:23	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Weg mit dem relativen Deckungsbeitrag kenne ich aus dem BWL Unterricht. Wie soll man dies hier grafisch lösen? Man kann ja gar keine Geraden zeichnen, weil diese ja zu viele Variablen enthalten, oder?
23.01.2013, 22:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch nur zwei Variablen $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$
23.01.2013, 22:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was ist mit $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ ? Ich denke aber, dass ich weiß was du meinst. Edit: Ich soll die einfach ignorieren, oder?
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23.01.2013, 22:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hättest sie nicht einführen müssen. Das zu lösende Problem ist doch eher folgendes: $\begin{eqnarray} x_1,x_2\geq0<br /> 0,5x_1+x_2\leq18<br /> 1,5x_1+0,5x_2\leq20<br /> <br /> 4x_1+5x_2\rightarrow Max \end{eqnarray}$
23.01.2013, 22:59	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatte ich mit dem ignorieren eigentlich gemeint. Jup da hast du recht die Einführung dieser Variablen war unnötig. Vielen Dank, die Aufgabe werde ich nun alleine hinbekommen. Danke euch zwei. Gute Nacht.
23.01.2013, 23:49	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
@Gmasterflash Da du in Kenntnis der rechnerischen Vorgehensweise bist, solltest du die grafische Lösung nochmal rechnerisch überprüfen. Edit: Etwas merkwürdig kommt mir das Ergebnis vor. Es wird logischerweise auf beiden Maschinen gleich viel jeweils von Produkt A und von Produkt B gefertigt. Das ist aber eigentlich nicht Sinn der Sache. Gute Nacht.
24.01.2013, 14:50	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist später aufgefallen, dass es zeichnerisch auch relativ ungenau ist. Außerdem bin ich irgendwie auf eine zeichnerische Lösung von x=8,8 und y=13,6 gekommen, was ja auch nicht unbedingt Sinn macht. Da habe ich dann einfach mit den Rundungen etwas probiert und bin dann auf x=8 und y=14 gekommen.
24.01.2013, 15:36	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kam auf die gleiche Lösung. Nur macht das Ergebnis, wie gesagt, für mich keinen Sinn. Da helfen Rundungen auch nicht weiter. Was hast du denn rechnerisch raus? Ich meine nach der Methode, wie ihr es im BWL-Unterricht gemacht habt.
24.01.2013, 16:43	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich so ehrlich gesagt noch nicht gemacht, weil ich nach etwas überlegem auch einen unterschied zum BWL Unterricht hatte. Hier haben wir ja zwei Maschinen dort hatten wir immer nur eine Maschine mit einer bestimmten Laufzeit. Das Prinzip ist denke ich mal das selbe. Wieso macht dieses Ergebnis für dich keinen Sinn?
24.01.2013, 16:52	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil auf beiden Maschinen jeweils die gleiche Menge von Produkt A und Produkt B gefertigt werden. Wie man die relativen db berechnet weißt du ja. Oder lies nochmal meinen ersten Beitrag durch.
24.01.2013, 16:58	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man den relativen Deckungsbeitrag berechnet weiß ich. Kommt man so den zu einer anderen Lösung?
24.01.2013, 17:01	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schon.
24.01.2013, 17:01	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann werde ich mal anfangen zu rechnen.
24.01.2013, 17:03	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war schon die ganze Zeit meine Hoffnung.
24.01.2013, 17:10	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich mir gedacht. Also an relativen Deckungsbeiträge erhalte ich für Maschine A für x_1 einen Beitrag von 8 und für x_2 einen Beitrag von 5 Bei Maschine B für x_1 2,67 und für x_2 einen von 10 Das heißt auf Maschine A sollte nur x_1 und auf Maschine B nur x_2 produziert werden. Damit kommt man auf Mengen von $\begin{eqnarray} x_1=36<br /> <br /> x_2=40 \end{eqnarray}$ Und auf einen Gesamten DB von 344 Das ist schon ein ziemlicher unterschied... Ich hoffe ich hab mich nirgends vertan.
24.01.2013, 17:18	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte gestern das gleiche Ergebnis. Da hatte ich mir auch schon überlegt, wie man das mit der grafischen Lösung zusammenbringen kann. Das Ergebnis war: Überhaupt nicht.
24.01.2013, 17:22	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal gucken wie es in der Schule gelöst wurde. Wahrscheinlich auch mit dem relativem Deckungsbeitrag und nicht grafisch. Vielen Dank, ich melde mich dann wenn ich genaueres zu der Aufgabe weiß.
24.01.2013, 17:23	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht noch zur Klärung der unterschiedlichen Lösungen: Das lineare Optimierungsmodell geht davon aus, dass die Produkte in beiden Anlagen bearbeitet werden müssen, beispielsweise wenn sie in A produziert werden und in B veredelt. Die Lösung mit dem relativen Deckungsbeitrag betrachtet beide Maschinen als eigenständige Produktionsanlagen, was natürlich zu einem deutlich höherem Output führt.

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