ln(1/x)=-ln(x)

23.01.2013, 21:35

Lysis

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ln(1/x)=-ln(x)

Meine Frage:
ln(1/x)=-ln(x) möchte ich gern beweisen.

Meine Ideen:
Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \,ln(\frac{1}{x})= \frac{d}{dx}\int_1^\frac{1}{x} \! \frac{1}{t} \, dt = - \frac{1}{x} = - \frac{d}{dx}\int_1^x \! \frac{1}{t} \, dt= - \,ln\left(x\right) \Rightarrow \,ln(\frac{1}{x})= - \,ln\left(x\right)+ \, C \end{eqnarray*}$ Für x=1 eingesetzt haben wir C=0.

Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob das so in Ordnung ist oder ich komplett falsch liege...

23.01.2013, 21:39

shipwater

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Ohne deine Rechnung überhaupt richtig angeguckt zu haben: Die Logarithmengesetze kennst du aber schon, oder?

Gruß Shipwater

23.01.2013, 21:43

Lysis

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Ich denke schon.. - wieso?

23.01.2013, 21:47

shipwater

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Weil sich ln(1/x)=-ln(x) unmittelbar aus diesen ergibt.

Gruß Shipwater

23.01.2013, 21:49

Lysis

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Abgesehen davon ist mein Beweis richtig oder falsch?

23.01.2013, 21:55

shipwater

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Falsch würd ich es nicht nennen, aber mit Kanonen auf Spatzen geschossen...

Gruß Shipwater

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23.01.2013, 22:13

Helferlein

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Ich würde das schon falsch nennen, wenn ich mir die Passage $\begin{eqnarray*} -\frac 1x~= ...=-ln(x) \end{eqnarray*}$ anschaue.

23.01.2013, 22:23

Lysis

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Stimmt, das Gleichzeichen ist da wohl nicht angebracht, falls du das meinst. Aber wie könnte ich das anders schreiben?

23.01.2013, 22:28

Helferlein

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Shipwater hat den einfachen Weg ja schon benannt. Wenn der Dir nicht behagt, dann stellt sich die Frage, wie ihr ln(x) definiert habt?

Möglicherweise $\begin{eqnarray*} ln(x)=\int_1^x~\frac1t~dt \end{eqnarray*}$ ?

23.01.2013, 22:45

Lysis

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Ja genau, so haben wir das definiert... - da ich ja schon auf die Art angefangen habe, möchte ich das natürlich auch so zu Ende bringen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.01.2013, 22:51

Helferlein

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Na dann muss wohl die Substitution $\begin{eqnarray*} s=\frac 1t \end{eqnarray*}$ herhalten.

$\begin{eqnarray*} ln(\frac 1x)=\int_1^{\frac 1x}~\frac1t~dt=... \end{eqnarray*}$

23.01.2013, 23:32

Lysis

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Man, ich steh auf dem Schlauch.. - vielleicht sollte ich doch die andere Variante nehmen.. Big Laugh

Big Laugh

23.01.2013, 23:59

Helferlein

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$\begin{eqnarray*} s=\frac 1t \Rightarrow ds=-\frac1{t²} dt = -s²dt \end{eqnarray*}$

Das musst Du einsetzen und die Grenzen an die neue Variable s anpassen. Ist einfacher, als Du denkst, aber auch schwerer als der zuerst vorgeschlagene Weg.

24.01.2013, 00:15

Lysis

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Danke für die Hilfe, aber so war es wohl doch etwas einfacher: Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{x} ) = - ln\left(x\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{a} } = ln\left(e^{- a}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{a} = x ; ln(x)= a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{x} ) = - ln\left(x\right) \end{eqnarray*}$

Müsste doch so stimmen, oder? smile

smile

24.01.2013, 03:54

telli

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$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{x} ) \ \ \ =\ - ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(x^{-1}) = \ -ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)\cdot ln(x) = - ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln(x) = - ln(x) \ \ \ \ \ \checkmark \end{eqnarray*}$

24.01.2013, 10:44

Lysis

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Ok, danke! Wäre meins so auch in Ordnung? Und müsste man bei deinem Beweis formal auch noch die "Rückrichtung" machen?

Also:

$\begin{eqnarray*} - ln\left(x\right) = ln\left(\frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(- 1\right) ln\left(x\right) = ln\left(\frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln\left(x^{-1} \right) = ln\left(\frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln\left(\frac{1}{x} \right)= ln\left(\frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$

24.01.2013, 12:33

Nofeys

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Ich verstehe nicht, warum es so kompliziert sein muss.
Ln(1/x) = ln(1) - ln(x) nach logarithmengesetzen, die dir ja bekannt sind. Was ist ln(1) ?

24.01.2013, 15:14

telli

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Zitat:

Original von Lysis
Ok, danke! Wäre meins so auch in Ordnung? Und müsste man bei deinem Beweis formal auch noch die "Rückrichtung" machen?

Nein, das ist nicht nötig. Du musst nur zeigen, dass die Beziehung gilt und das hat man ja.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{x} ) = - ln\left(x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{a} } = ln\left(e^{- a}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{a} = xln(x)= a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{x} ) = - ln\left(x\right) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht was du hier genau machst. Wocher kommt denn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ins Spiel?
Ausserdem wenn ich nur diese Zeile hier anschaue $\begin{eqnarray*} e^{a} = xln(x)= a \end{eqnarray*}$ sehe ich, dass das gar nicht stimmen kann. $\begin{eqnarray*} e^{a} = a \end{eqnarray*}$ und diese Gleichung liefert schlicht die Aussage "Falsch", denn es gibt kein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ für das die Gleichung erfüllt ist. Ausserdem sollst du nicht für ein einziges $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sondern für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Beziehung bestätigen.

Wenn schon müsste das so aussehen:
$\begin{eqnarray*} -ln(x) = ln(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_e(x) = -ln(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-ln(\frac{1}{x})} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{ln(x)} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=x \end{eqnarray*}$

24.01.2013, 16:53

Lysis

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Das mit dem a folgt aus dem Logaritmusgesetz... und natürlich kann die Gleichung nicht stimmen, weil nämlich ein Semikolon dazwischen steht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} e^{a}%20=%20x%20 ; %20ln(x)=%20a \end{eqnarray*}$

24.01.2013, 17:28

Helferlein

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Falls noch jemanden die integrale Lösung interessiert:

Mit $\begin{eqnarray*} s=\frac 1t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dt=-\frac1{s²}~ds \end{eqnarray*}$ erhält man die Gleichungskette

$\begin{eqnarray*} ln(\frac 1x)=\int_1^{\frac 1x}~\frac1t~dt= -\int_1^{x}~s\cdot\frac1{s²}~ds=-ln(x) \end{eqnarray*}$

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