Beweis Kongruenz

24.01.2013, 12:18	derrenner	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Kongruenz Habe in meinen Unterlagen folgende Kongruenz gefunden, mich würde interessieren wie man diese Beweisen könnte. Ich selbst habe in Sachen Zahlentheorie leider nicht den Durchblick. p sei eine ungerade Primzahl
24.01.2013, 13:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip folgt das relativ schnell auf dem Satz von Wilson, sofern du den benutzen darfst.
24.01.2013, 13:22	derrenner	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die rechte Seite ist ja -1, wenn p kongruent zu 1 mod 4 ist und 1, wenn zu 3 mod 4. wie ich das aber für die linke Seite zeige, weiß ich einfach nicht. Der Satz von Wiles ein, aber da tritt ja ( p-1)! auf. Ich sehe nicht, wie ich zu den Exponenten komme.
24.01.2013, 13:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Wilson, nicht Wiles - letzteren gibt es auch, der ist wesentlich berühmter, aber hier im Thread nicht von Interesse. Du kannst die $\begin{eqnarray} (p-1) \end{eqnarray}$ Faktoren in $\begin{eqnarray} (p-1)! \end{eqnarray}$ zu Paaren symmetrisch der Mitte bündeln, d.h. $\begin{eqnarray} (p-1)! = \prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} (k(p-k)) \equiv \prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} (-k^2) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} \cdot \left( \left( \frac{p-1}{2} \right)! \right)^2 \bmod p \end{eqnarray}$ . Das sollte den Zusammenhang deutlich machen.
24.01.2013, 15:34	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Des weiteren kann man in der zu beweisenden Kongruenz alle Faktoren p in den Exponenten auf der linken und rechten Seite ersatzlos streichen, ohne die Behauptung zu verändern, da ja gilt $\begin{eqnarray} a^p \equiv a \mod p \quad \forall a \in \mathbb Z \end{eqnarray}$
24.01.2013, 15:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei im Fall $\begin{eqnarray} a=\pm 1 \end{eqnarray}$ sogar $\begin{eqnarray} a^u = a \end{eqnarray}$ für alle ungeraden Zahlen $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ gilt. Das überkomplizierte $\begin{eqnarray} (-1)^{\frac{(p+1)p}{2}} \end{eqnarray}$ kann also getrost durch $\begin{eqnarray} (-1)^{\frac{p+1}{2}} \end{eqnarray}$ ersetzt werden.
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24.01.2013, 18:37	derrenner	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank für die schnelle und kompetente Hilfe

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