Matrix einer Abbildung finden und ist diese invertierbar?

24.01.2013, 17:32	Tenacious	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix einer Abbildung finden und ist diese invertierbar? Hallo, erstmal zur Aufgabe: "Man beschreibe die Matrix $\begin{eqnarray} A_{f, B, B} \end{eqnarray}$ der lineare Abbildung: $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^{2\times 2} \rightarrow \mathbb R^{2\times 2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M \longmapsto \begin{pmatrix} \pi & \sqrt{2}\\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix} \cdot M \end{eqnarray}$ bezüglich der angeordneten Basis $\begin{eqnarray} B = (E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}) \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} A_{f, B, B} \end{eqnarray}$ invertierbar? Die Matrix habe ich schon wie folgt beschrieben (hoffentlich richtig): $\begin{eqnarray} f(E_{11}) = \begin{pmatrix} \pi & 0\\ \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(E_{12}) = \begin{pmatrix} 0 & \pi \\ 0 & \sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(E_{21}) = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(E_{22}) = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2}\\ \ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} A_{f, B, B} = \begin{pmatrix} \pi & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \pi & 0 & \sqrt{2} \\ \sqrt{3} & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das soweit erstmal richtig? Und wie prüfe ich nun auf Invertierbarkeit? Muss ich zeigen dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bijektiv ist?
25.01.2013, 12:58	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix einer Abbildung finden und ist diese invertierbar? Hallo Tenacious, Deine Matrix stimmt. Um die Invertierbarkeit zu prüfen, kannst Du entweder die Determinante der Matrix bestimmen, oder aber einfach mal den Kern der Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ untersuchen. Die Frage ist dann nur noch, ob es eine Matrix $\begin{eqnarray} M\neq 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(M)=0 \end{eqnarray}$ gibt. Gruß Reksilat

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