Grenzwert berechnen

15.02.2007, 20:04

Shadow86

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Wer kann mir sagen wie ich lim (x² * ln(x)) für x->0 berechne.
Warum kann ich nicht einfach lim (x²*ln(x)) = (wegen Grenzwertsätze) lim x² * lim ln(x) für x->0
dann wäre lim x² für x->0 0 und damit 0 * lim ln(x) = 0 ?
Hab das nämlich in der Klausur gemacht und mir dann als Fehler angestrichen...

15.02.2007, 20:18

Goki

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du kannst natürlich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} {x^2 \cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$ ausseinander ziehen zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} ln(x) \end{eqnarray*}$

doch dann hast du die situation $\begin{eqnarray*} 0 \cdot -\infty \end{eqnarray*}$ , und das ist nich deffiniert.

schreib die funktion um zu

$\begin{eqnarray*} \frac {ln(x)}{\frac {1} {x^2}} \end{eqnarray*}$ , dann kannst du L'Hospital benutzen

15.02.2007, 20:31

Shadow86

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warum ist das nicht definiert? ich dachte 0 mal irgendwas ist immer 0

15.02.2007, 20:35

Goki

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stimmt ja auch, ausser wenn das "irgendwas" $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

wenn der eine Teil des Produkts gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert und der andere gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ kann man nicht so ohne weiteres sagen was sich durchsetzt

15.02.2007, 20:40

Shadow86

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und wie ist das bei x² * sin (1/x) ?

15.02.2007, 20:45

Goki

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sin(\frac 1 x) \end{eqnarray*}$ ist divergent, denn die Funktion bewegt sich immer zwischen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .

bei $\begin{eqnarray*} x^2 \cdot sin(\frac 1 x) \end{eqnarray*}$ hast du gar nich die Situation $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty \end{eqnarray*}$

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15.02.2007, 20:46

Shadow86

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heißt das, da kann ich lim x² * lim sin(1/x) machen ?

15.02.2007, 20:53

Goki

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das musst du gar nicht

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot \underbrace {sin(\frac 1 x)}_{-1 \le sin(\frac 1 x) \le 1} \longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x \rightarrow 0) \end{eqnarray*}$

15.02.2007, 20:57

Shadow86

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ich versteh ja, dass sin (1/x) immer zwischen -1 und 1 liegt, aber wie kann ich dann x² * sin (1/x) auf lim 0 schließen? Wegen x² gegen 0 würd ich ja verstehen, aber wieso nimmst du hier den sin?

15.02.2007, 21:13

Goki

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Es gilt ja

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \end{eqnarray*}$

wenn du jetzt betrachtest

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2 \cdot y \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eine konkrete zahl zwischen $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist , ändert ja dieses $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nichts an dem Konvergenzverhalten.

denn
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2 \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2 \cdot -1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2 \cdot 0.5 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2 \cdot 0.3 = 0 \end{eqnarray*}$ usw. smile

smile

15.02.2007, 21:16

Shadow86

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aber ich hab doch lim x² * sin(1/x) = lim x² * lim sin(1/x) = 0 * lim sin(1/x) = 0 geschrieben und das ham se nicht akzeptiert.

15.02.2007, 21:23

Goki

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vielleicht darfst du das so nicht hinschreiben, weil

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sin(\frac 1 x) \end{eqnarray*}$ nicht existiert.

$\begin{eqnarray*} sin(\frac 1 x) \end{eqnarray*}$ ist ja divergent (wie gesagt schwankt es immer zwischen 1 und -1)

aber das ist dann wohl eher eine formaler Fehler.
genaueres weiss ich auch nicht, bin ja selber noch fleissig am lernen Big Laugh

Big Laugh

edit: ich denke auch, der Fehler bestand darin, dass du nicht expliziet geschrieben hast, dass sin(1/x) immer zwischen -1 und 1 liegt. dass muss man schon dazuschreiben

15.02.2007, 21:27

Shadow86

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ok danke, ich melde mich, wenn mir noch was einfällt

16.02.2007, 08:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Shadow86
aber ich hab doch lim x² * sin(1/x) = lim x² * lim sin(1/x) = 0 * lim sin(1/x) = 0 geschrieben und das ham se nicht akzeptiert.

Logisch. Weil - wie Goki schon sagte - der $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~sin(1/x) \end{eqnarray*}$ nicht existiert. Und die Regel $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}~f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to a}~f(x) \cdot \lim_{x \to a}~g(x) \end{eqnarray*}$ gilt nur, wenn beide Grenzwerte existieren.

Ein Beweis von $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~x^2 \cdot sin(1/x) = 0 \end{eqnarray*}$ sieht so aus:

Es ist $\begin{eqnarray*} -x^2 \leq x^2 \cdot sin(1/x) \leq x^2 \end{eqnarray*}$ .
Da die Terme links und rechts für x gegen Null gegen Null konvergieren, ist dies auch für den mittleren Term der Fall. Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: und bitte das nächste mal einen eigenen Thread aufmachen und sich nicht an einen bestehenden dranhängen.

16.02.2007, 16:46

Shadow86

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Danke schonmal, jetzt aber zurück zum Beispiel lim x² * ln(x), wenn ich l'Hôspital anwende, nehme ich den Grenzwert von der Ableitung, das wäre also lim (2x * ln(x) + x) da ist das Problem, dass immer noch ln drin vorkommt, aber ich kann das ganze ja als Funktion betrachten und dann nochmal l'Hôspital anwenden, das wäre dann lim (2*ln(x) + 3), wenn ich hier x->0 gehen lasse, strebt der lim wegen ln(x) nach $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ unendlich, es muss aber Null rauskommen.
Wenn ich nochmal ableite, hab ich 2/x und hier ist der lim für x->0 $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ . Wie kann das sein?

16.02.2007, 16:56

klarsoweit

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Schau mal in die Voraussetzungen von l'Hospital. Den kann man anwenden bei Grenzwerten der Form $\begin{eqnarray*} \frac 0 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ . Das ist bei x² * ln(x) nicht der Fall. Also mußt du diesen Term erstmal geeignet umformen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.02.2007, 17:08

Shadow86

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also $\begin{eqnarray*} \frac{x²}{\frac{1}{ln(x)}} \end{eqnarray*}$ ?
und dann ableiten ok, aber das ist dann noch komplizierter

16.02.2007, 18:53

klarsoweit

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Dann versuche es andersrum:

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$

16.02.2007, 19:33

Shadow86

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ok, wenn ich das ableite hab ich $\begin{eqnarray*} \frac{1+2ln(x)}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ Muss ich dann wieder ableiten? Dann kommt durch kürzen aber wieder 2ln(x)+3 raus und ich bin wieder soweit wir vorher

16.02.2007, 20:56

Goki

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wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$ ableitest, kommt aber

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac 1 x}{-\frac {2} {x^3}} \end{eqnarray*}$

Bei L'Hospital musst du Zähler und Nenner getrennt ableiten, und nicht die Quotientenregel benutzen

16.02.2007, 22:59

Shadow86

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stimmt, da hast du recht, da hab ich nicht dran gedacht, also noch mal
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-2}{x^{3}}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}*\frac{x^{3}}{-2} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} -\frac{x^{2}}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{x \to 0} -\frac{x^{2}}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Ja, das macht Sinn, danke :-)

23.02.2007, 10:45

Shadow86

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Die Frage war zwar nicht in der Klausur, aber mir ist trotzdem noch was zu der Funktion $\begin{eqnarray*} x^{2}sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ eingefallen. Nehmen wir an, ich soll die Extremwerte berechnen. Wie mache ich das hier?
Ableitung = 0 setzen schon klar, also $\begin{eqnarray*} 2xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x})=0 \end{eqnarray*}$
Und weiter? Wie bestimme ich hier x? Muss man hier den arssin bzw. arccos benutzen? Ich komme hier nicht weiter.

23.02.2007, 11:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von Shadow86
$\begin{eqnarray*} 2xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x})=0 \end{eqnarray*}$

Umgeformt erhält man:
$\begin{eqnarray*} tan(\frac{1}{x}) = \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$

Und spätestens hier ist man an dem Punkt angelangt, wo klar ist, daß man das nur näherungsweise lösen kann.

23.02.2007, 12:05

Shadow86

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Wie kommst du auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} tan(\frac{1}{x})= \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ ?

23.02.2007, 12:36

klarsoweit

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Dividiere durch $\begin{eqnarray*} cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

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