Abzählbare Mengen

24.01.2013, 20:31

karotta

Abzählbare Mengen

Meine Frage:
Hallo,

siehe Anhang:
Warum ist da in der leztzten Zeile 3mal (bzw. unendlich oft) "aN"?
Ist das ein Fehler im Skript?
Es sollte ja eigentlich eine abzählbare Menge sein..

Meine Ideen:
.

24.01.2013, 20:42

Mulder

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RE: Abzählbare Mengen

Zitat:

Warum ist da in der leztzten Zeile 3mal (bzw. unendlich oft) "aN"?
Ist das ein Fehler im Skript?

Nein, das ist kein Fehler.

Es muss ja jedem $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ein Bild in A zugeordnet werden, damit $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ als Abbildung vollständig definiert ist. Und natürliche Zahlen, davon gibt es nunmal unendlich viele.

Hier werden die Zahlen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ abgebildet, also:

$\begin{eqnarray*} \varphi(0)=a_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(1)=a_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(n)=a_n \end{eqnarray*}$

So ist schon mal sichergestellt, dass jedes Element in A einmal getroffen wird. Aber im Urbild IN liegen ja unendlich viele Elemente. Die restlichen unendlichen vielen Elemente müssen auch irgendwohin abgebildet werden. Und da wurde hier

$\begin{eqnarray*} \varphi(k) = a_n \quad \forall k>n \end{eqnarray*}$

gewählt. Da hätte man nicht unbedingt $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ für nehmen müssen, man hätte die restlichen Elemente aus IN auch auf irgendwelche anderen Elemente aus A abbilden können. Der Beweisführer hat das hier eben so gewählt.

Zitat:

Es sollte ja eigentlich eine abzählbare Menge sein..

Was ist "es"? verwirrt

"Abzählbar" bedeutet ja nicht "endlich".

Edit: Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass die 0 in IN drin liegt.

24.01.2013, 21:05

karotta

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Danke!
jetzt habe ich es verstanden..
mit "es ..." meinte ich, dass die Menge ja endlich sein müsste und deswegen nicht unendlich viele aNs haben dürfte, weil ich, wie du richtig festgestellt hattest, dachte, dass eine abzählbare Menge endlich sein müsste..

könntest du (oder irgendjemand) mit vielleicht auch noch dieses hier erklären? :

24.01.2013, 21:24

Mulder

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RE: Danke!
Präzisere Fragestellungen wären wünschenswert. Du wirst dir ja wohl selber auch schon Gedanken gemacht haben. Was ist denn unklar?

Hast du dir mal Cantors erstes Diagonalargument angeschaut? Diese Beweisidee ist hier übernommen worden.

Die Angaben im Text sind so allerdings auch sehr dürftig. Es steht nicht dabei, was die $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ überhaupt sein sollen (auch wenn ich's mir natürlich denken kann).

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